Чтобы решить задачу, давайте обозначим стороны прямоугольника. Пусть одна сторона равна ( x ), а другая сторона равна ( y ).
Мы имеем следующие данные:
Периметр прямоугольника:
[
P = 2(x + y) = 54 \text{ см}
]
Из этого уравнения можно выразить ( x + y ):
[
x + y = \frac{54}{2} = 27 \text{ см}
]
Площадь прямоугольника:
[
S = x \cdot y = 92 \text{ см}^2
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( x + y = 27 )
- ( xy = 92 )
Шаг 1: Выразим одну из переменных через другую
Из первого уравнения выразим ( y ):
[
y = 27 - x
]
Шаг 2: Подставим выражение в второе уравнение
Теперь подставим ( y ) во второе уравнение:
[
x(27 - x) = 92
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
[
27x - x^2 = 92
]
Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
-x^2 + 27x - 92 = 0
]
Умножим все уравнение на -1, чтобы упростить:
[
x^2 - 27x + 92 = 0
]
Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения
Для решения используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = -27 ), ( c = 92 ):
[
D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 92 = 729 - 368 = 361
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 \pm \sqrt{361}}{2}
]
[
\sqrt{361} = 19
]
Подставим значение:
[
x = \frac{27 \pm 19}{2}
]
Теперь вычислим оба корня:
- ( x_1 = \frac{27 + 19}{2} = \frac{46}{2} = 23 )
- ( x_2 = \frac{27 - 19}{2} = \frac{8}{2} = 4 )
Шаг 5: Найдем стороны прямоугольника
Теперь у нас есть два значения для ( x ):
- Если ( x = 23 ), то ( y = 27 - 23 = 4 )
- Если ( x = 4 ), то ( y = 27 - 4 = 23 )
Таким образом, меньшая сторона равна ( 4 ) см, а большая сторона равна ( 23 ) см.
Ответ:
- Меньшая сторона равна 4 см.
- Большая сторона равна 23 см.
