Найти производную сложной функции у=ln (5x³-x)
Давайте разберем, как найти производную функции \( y = \ln(5x^3 - x) \) шаг за шагом.
Шаг 1: Определение функции и применение правил дифференцирования
В данной задаче у нас есть функция, которую нужно дифференцировать. Мы видим, что в ней имеется логарифм, к которому применяется правило производных для сложной функции.
Производная логарифмической функции \( \ln(u) \) по переменной \( x \) находится по формуле:
\[ \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \]
где \( u = 5x^3 - x \).
Шаг 2: Найдем \( \frac{du}{dx} \)
Теперь найдем производную \( u = 5x^3 - x \):
Производная первого слагаемого \( 5x^3 \):
\[ \frac{d}{dx}(5x^3) = 15x^2 \]Производная второго слагаемого \( -x \):
\[ \frac{d}{dx}(-x) = -1 \]
Теперь мы можем выразить полную производную \( \frac{du}{dx} \):
\[ \frac{du}{dx} = 15x^2 - 1 \]
Шаг 3: Применим правило производной для логарифма
Теперь, подставим \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в формулу для производной логарифма:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{5x^3 - x} \cdot (15x^2 - 1) \]
Шаг 4: Запишем финальный ответ
Таким образом, производная функции:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{15x^2 - 1}{5x^3 - x} \]
Это и есть искомая производная функции \( y = \ln(5x^3 - x) \).
Теперь вы знаете, как находить производные сложных функций, используя правила дифференцирования логарифмов и полиномиальных функций. Если у вас есть другие вопросы или задачи, не стесняйтесь задавать их!
