Найти производную сложной функции у=ln (5x³-x)

Давайте разберем, как найти производную функции \( y = \ln(5x^3 - x) \) шаг за шагом. ### Шаг 1: Определение функции и применение правил дифференцирования В данной задаче у нас есть функция, которую нужно дифференцировать. Мы видим, что в ней имеется логарифм, к которому применяется правило производных для сложной функции. Производная логарифмической функции \( \ln(u) \) по переменной \( x \) находится по формуле: \[ \frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \] где \( u = 5x^3 - x \). ### Шаг 2: Найдем \( \frac{du}{dx} \) Теперь найдем производную \( u = 5x^3 - x \): 1. Производная первого слагаемого \( 5x^3 \): \[ \frac{d}{dx}(5x^3) = 15x^2 \] 2. Производная второго слагаемого \( -x \): \[ \frac{d}{dx}(-x) = -1 \] Теперь мы можем выразить полную производную \( \frac{du}{dx} \): \[ \frac{du}{dx} = 15x^2 - 1 \] ### Шаг 3: Применим правило производной для логарифма Теперь, подставим \( u \) и \( \frac{du}{dx} \) в формулу для производной логарифма: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{5x^3 - x} \cdot (15x^2 - 1) \] ### Шаг 4: Запишем финальный ответ Таким образом, производная функции: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{15x^2 - 1}{5x^3 - x} \] Это и есть искомая производная функции \( y = \ln(5x^3 - x) \). Теперь вы знаете, как находить производные сложных функций, используя правила дифференцирования логарифмов и полиномиальных функций. Если у вас есть другие вопросы или задачи, не стесняйтесь задавать их!