Докажите, что произведение двух последовательных чётных чисел кратно 8.

Докажем, что произведение двух последовательных чётных чисел кратно 8. Обозначим два последовательных чётных числа. Чётные числа можно выразить как 2n, где n — целое число. Тогда два последовательных чётных числа могут быть записаны следующим образом: 1. Первое число: \(2n\) 2. Второе число: \(2(n+1) = 2n + 2\) Теперь найдём произведение этих двух чисел: \[ P = (2n) \cdot (2n + 2) \] Упростим произведение: \[ P = 2n \cdot (2n + 2) = 2n \cdot 2(n + 1) = 4n(n + 1) \] Теперь проанализируем выражение \(4n(n + 1)\). Мы видим, что оно содержит множитель 4. Теперь нужно показать, что произведение также делится на 2, чтобы убедиться, что оно кратно 8. Среди двух последовательных целых чисел (n и n + 1) одно из них обязательно четное. Следовательно, хотя бы одно из этих чисел (n или n + 1) будет делиться на 2, и это означает, что: \[ n(n + 1) \text{ обязательно делится на 2} \] Следовательно, \(4n(n + 1)\) будет делиться на: \[ 4 \cdot 2 = 8 \] Таким образом, искомое произведение \(P = 4n(n + 1)\) делится на 8. Итак, мы доказали, что произведение двух последовательных чётных чисел кратно 8.