Докажите, что произведение двух последовательных чётных чисел кратно 8.

Докажем, что произведение двух последовательных чётных чисел кратно 8.

Обозначим два последовательных чётных числа. Чётные числа можно выразить как 2n, где n — целое число. Тогда два последовательных чётных числа могут быть записаны следующим образом:

1. Первое число: \(2n\)
2. Второе число: \(2(n+1) = 2n + 2\)

Теперь найдём произведение этих двух чисел:

\[ P = (2n) \cdot (2n + 2) \]

Упростим произведение:

\[ P = 2n \cdot (2n + 2) = 2n \cdot 2(n + 1) = 4n(n + 1) \]

Теперь проанализируем выражение \(4n(n + 1)\). Мы видим, что оно содержит множитель 4. Теперь нужно показать, что произведение также делится на 2, чтобы убедиться, что оно кратно 8.

Среди двух последовательных целых чисел (n и n + 1) одно из них обязательно четное. Следовательно, хотя бы одно из этих чисел (n или n + 1) будет делиться на 2, и это означает, что:

\[ n(n + 1) \text{ обязательно делится на 2} \]

Следовательно, \(4n(n + 1)\) будет делиться на:

\[ 4 \cdot 2 = 8 \]

Таким образом, искомое произведение \(P = 4n(n + 1)\) делится на 8.

Итак, мы доказали, что произведение двух последовательных чётных чисел кратно 8.