Для того чтобы решить задачу, найдем значение ( y ) при условии, что векторы ( \mathbf{a} = (3, y) ) и ( \mathbf{b} = (2, -6) ) перпендикулярны.
Шаг 1: Понять условие перпендикулярности векторов
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) можно вычислить по формуле:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2
]
где ( a_1 ) и ( a_2 ) — компоненты вектора ( \mathbf{a} ), а ( b_1 ) и ( b_2 ) — компоненты вектора ( \mathbf{b} ).
Шаг 2: Подставить значения в формулу
В нашем случае:
- Для вектора ( \mathbf{a} = (3, y) ) имеем ( a_1 = 3 ) и ( a_2 = y ).
- Для вектора ( \mathbf{b} = (2, -6) ) имеем ( b_1 = 2 ) и ( b_2 = -6 ).
Подставим эти значения в формулу для скалярного произведения:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 2 + y \cdot (-6)
]
Шаг 3: Записать уравнение
Теперь записываем уравнение для скалярного произведения:
[
3 \cdot 2 + y \cdot (-6) = 0
]
Упрощаем:
[
6 - 6y = 0
]
Шаг 4: Решить уравнение
Теперь решим уравнение:
[
6 - 6y = 0
]
Переносим ( 6y ) на другую сторону:
[
6 = 6y
]
Делим обе стороны на 6:
[
y = 1
]
Шаг 5: Проверка результата
Теперь проверим, что действительно, векторы будут перпендикулярны при ( y = 1 ):
Скалярное произведение:
[
\mathbf{a} = (3, 1), \quad \mathbf{b} = (2, -6)
]
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot (-6) = 6 - 6 = 0
]
Скалярное произведение равно нулю, что подтверждает, что векторы перпендикулярны.
Ответ
Значение ( y ) равно ( 1 ).
