В коробке 7 красных и 3 синих шара. Случайным образом из коробки извлекают 5 шаров. Какова вероятность события «среди извлеченных не более 3 красных шаров»?

Для решения задачи о вероятности события «среди извлеченных не более 3 красных шаров», давайте разберем её шаг за шагом.

Шаг 1: Определение общего количества шаров

В коробке у нас есть:

• 7 красных шаров
• 3 синих шара

Общее количество шаров: \[ 7 + 3 = 10 \]

Шаг 2: Общее количество способов извлечения 5 шаров

Чтобы найти общее количество способов выбрать 5 шаров из 10, мы используем комбинаторику. Число сочетаний из \( n \) элементов по \( k \) обозначается как \( C(n, k) \) и вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае это будет: \[ C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 \]

Шаг 3: Определение вероятных случаев (не более 3 красных шаров)

Теперь определяем случаи, когда среди 5 извлеченных шаров не более 3 красных. Это может быть 0, 1, 2 или 3 красных шара.

1. Случай 0 красных шаров: 0 красных, 5 синих. Но так как у нас только 3 синих шара, это невозможно.

2. Случай 1 красный шар: 1 красный и 4 синих.

   • Красных: \( C(7, 1) \)
   • Синих: \( C(3, 4) \) (но это невозможно, так как 4 синих шара больше, чем у нас есть).

3. Случай 2 красных шара: 2 красных и 3 синих.

   • Красных: \( C(7, 2) \)
   • Синих: \( C(3, 3) \)

   Вычислим количество способов: \[ C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] \[ C(3, 3) = 1 \] Таким образом, количество способов извлечь 2 красных и 3 синих: \[ 21 \times 1 = 21 \]

4. Случай 3 красных шара: 3 красных и 2 синих.

   • Красных: \( C(7, 3) \)
   • Синих: \( C(3, 2) \)

   Вычислим количество способов: \[ C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \] \[ C(3, 2) = 3 \] Таким образом, количество способов извлечь 3 красных и 2 синих: \[ 35 \times 3 = 105 \]

Шаг 4: Общее количество благоприятных исходов

Сложим благоприятные случаи: \[ 0 + 0 + 21 + 105 = 126 \]

Шаг 5: Вероятность события

Вероятность события «среди извлеченных не более 3 красных шаров» равна отношению количества благоприятных случаев к общему количеству способов: \[ P = \frac{\text{благоприятные случаи}}{\text{всего случаев}} = \frac{126}{252} = \frac{1}{2} \]

Ответ

Вероятность того, что среди извлеченных 5 шаров не более 3 красных равна \( \frac{1}{2} \).