В коробке 7 красных и 3 синих шара. Случайным образом из коробки извлекают 5 шаров. Какова вероятность события «среди извлеченных не более 3 красных шаров»?

Для решения задачи о вероятности события «среди извлеченных не более 3 красных шаров», давайте разберем её шаг за шагом. ### Шаг 1: Определение общего количества шаров В коробке у нас есть: - 7 красных шаров - 3 синих шара Общее количество шаров: \[ 7 + 3 = 10 \] ### Шаг 2: Общее количество способов извлечения 5 шаров Чтобы найти общее количество способов выбрать 5 шаров из 10, мы используем комбинаторику. Число сочетаний из \( n \) элементов по \( k \) обозначается как \( C(n, k) \) и вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае это будет: \[ C(10, 5) = \frac{10!}{5! \cdot (10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 \] ### Шаг 3: Определение вероятных случаев (не более 3 красных шаров) Теперь определяем случаи, когда среди 5 извлеченных шаров не более 3 красных. Это может быть 0, 1, 2 или 3 красных шара. 1. **Случай 0 красных шаров**: 0 красных, 5 синих. Но так как у нас только 3 синих шара, это невозможно. 2. **Случай 1 красный шар**: 1 красный и 4 синих. - Красных: \( C(7, 1) \) - Синих: \( C(3, 4) \) (но это невозможно, так как 4 синих шара больше, чем у нас есть). 3. **Случай 2 красных шара**: 2 красных и 3 синих. - Красных: \( C(7, 2) \) - Синих: \( C(3, 3) \) Вычислим количество способов: \[ C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] \[ C(3, 3) = 1 \] Таким образом, количество способов извлечь 2 красных и 3 синих: \[ 21 \times 1 = 21 \] 4. **Случай 3 красных шара**: 3 красных и 2 синих. - Красных: \( C(7, 3) \) - Синих: \( C(3, 2) \) Вычислим количество способов: \[ C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \] \[ C(3, 2) = 3 \] Таким образом, количество способов извлечь 3 красных и 2 синих: \[ 35 \times 3 = 105 \] ### Шаг 4: Общее количество благоприятных исходов Сложим благоприятные случаи: \[ 0 + 0 + 21 + 105 = 126 \] ### Шаг 5: Вероятность события Вероятность события «среди извлеченных не более 3 красных шаров» равна отношению количества благоприятных случаев к общему количеству способов: \[ P = \frac{\text{благоприятные случаи}}{\text{всего случаев}} = \frac{126}{252} = \frac{1}{2} \] ### Ответ Вероятность того, что среди извлеченных 5 шаров не более 3 красных равна \( \frac{1}{2} \).