Решение

Для решения задачи сначала докажем формулу площади.

Доказательство формулы площади:

Для равностороннего треугольника с длиной стороны \(a\):

1. Высота треугольника:
   Разделим равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника, проведя высоту. По теореме Пифагора:
   \[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

2. Площадь треугольника:
   Площадь равностороннего треугольника равна:
   \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]

Применение формулы:

Теперь найдем площадь для каждой из данных сторон:

1. \(a = 5 \text{ см}\):
   \[ S = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \approx 10.83 \]
   Площадь равностороннего треугольника со стороной 5 см приблизительно равна \(10.83 \text{ см}^2\).

2. \(a = 1.2 \text{ см}\):
   \[ S = \frac{1.2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1.44 \sqrt{3}}{4} = \frac{1.44 \cdot 1.732}{4} \approx 0.623 \]
   Площадь треугольника приблизительно равна \(0.623 \text{ см}^2\).

3. \(a = 2\sqrt{2} \text{ см}\):
   \[ S = \frac{(2\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{8 \sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \]
   Площадь треугольника приблизительно равна \(3.46 \text{ см}^2\).

Таким образом, мы вычислили площади для всех случаев.