Решение

Для решения задачи сначала докажем формулу площади. ### Доказательство формулы площади: Для равностороннего треугольника с длиной стороны \(a\): 1. **Высота треугольника:** Разделим равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника, проведя высоту. По теореме Пифагора: \[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] 2. **Площадь треугольника:** Площадь равностороннего треугольника равна: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \] ### Применение формулы: Теперь найдем площадь для каждой из данных сторон: 1. **\(a = 5 \text{ см}\):** \[ S = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \approx 10.83 \] Площадь равностороннего треугольника со стороной 5 см приблизительно равна \(10.83 \text{ см}^2\). 2. **\(a = 1.2 \text{ см}\):** \[ S = \frac{1.2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1.44 \sqrt{3}}{4} = \frac{1.44 \cdot 1.732}{4} \approx 0.623 \] Площадь треугольника приблизительно равна \(0.623 \text{ см}^2\). 3. **\(a = 2\sqrt{2} \text{ см}\):** \[ S = \frac{(2\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{8 \sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \] Площадь треугольника приблизительно равна \(3.46 \text{ см}^2\). Таким образом, мы вычислили площади для всех случаев.