3.Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8…

Обозначим скорость велосипедиста на пути из города А в город В как \( v \) км/ч. Тогда время, затраченное на путь из А в В, можно выразить как:

\[ t_1 = \frac{209}{v} \]

На следующий день велосипедист увеличивает скорость на 8 км/ч, поэтому скорость на пути из В в А будет равна \( v + 8 \) км/ч. Время, затраченное на обратный путь, будет:

\[ t_2 = \frac{209}{v + 8} \]

По условиям задачи, время на обратный путь, включая 8 часов остановки, равно времени на путь из А в В, т.е.:

\[ t_2 + 8 = t_1 \]

Подставим выражения для времени:

\[ \frac{209}{v + 8} + 8 = \frac{209}{v} \]

Теперь умножим каждую часть уравнения на \( v(v + 8) \), чтобы избавиться от делений:

\[ 209v + 8v(v + 8) = 209(v + 8) \]

Раскроем скобки:

\[ 209v + 8v^2 + 64v = 209v + 1672 \]

Сократим \( 209v \) с обеих сторон:

\[ 8v^2 + 64v = 1672 \]

Далее упростим уравнение, поделив его на 8:

\[ v^2 + 8v - 209 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = 8 \), \( c = -209 \):

\[ v = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209)}}{2 \cdot 1} \]

Вычислим дискриминант:

\[ D = 64 + 836 = 900 \]

Теперь найдем корни:

\[ v = \frac{-8 \pm 30}{2} \]

Находим два значения:

1. \( v = \frac{22}{2} = 11 \)
2. \( v = \frac{-38}{2} = -19 \) (отрицательную скорость отклоняем)

Следовательно, скорость велосипедиста на пути из А в В равна \( 11 \) км/ч.

Теперь найдем скорость на пути из В в А:

\[ v + 8 = 11 + 8 = 19 \text{ км/ч} \]

Таким образом, скорость велосипедиста на пути из В в А составляет \( 19 \) км/ч.