Обозначим скорость велосипедиста на пути из города А в город В как ( v ) км/ч. Тогда время, затраченное на путь из А в В, можно выразить как:
[
t_1 = \frac{209}{v}
]
На следующий день велосипедист увеличивает скорость на 8 км/ч, поэтому скорость на пути из В в А будет равна ( v + 8 ) км/ч. Время, затраченное на обратный путь, будет:
[
t_2 = \frac{209}{v + 8}
]
По условиям задачи, время на обратный путь, включая 8 часов остановки, равно времени на путь из А в В, т.е.:
[
t_2 + 8 = t_1
]
Подставим выражения для времени:
[
\frac{209}{v + 8} + 8 = \frac{209}{v}
]
Теперь умножим каждую часть уравнения на ( v(v + 8) ), чтобы избавиться от делений:
[
209v + 8v(v + 8) = 209(v + 8)
]
Раскроем скобки:
[
209v + 8v^2 + 64v = 209v + 1672
]
Сократим ( 209v ) с обеих сторон:
[
8v^2 + 64v = 1672
]
Далее упростим уравнение, поделив его на 8:
[
v^2 + 8v - 209 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = 8 ), ( c = -209 ):
[
v = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209)}}{2 \cdot 1}
]
Вычислим дискриминант:
[
D = 64 + 836 = 900
]
Теперь найдем корни:
[
v = \frac{-8 \pm 30}{2}
]
Находим два значения:
- ( v = \frac{22}{2} = 11 )
- ( v = \frac{-38}{2} = -19 ) (отрицательную скорость отклоняем)
Следовательно, скорость велосипедиста на пути из А в В равна ( 11 ) км/ч.
Теперь найдем скорость на пути из В в А:
[
v + 8 = 11 + 8 = 19 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорость велосипедиста на пути из В в А составляет ( 19 ) км/ч.
