Чтобы выяснить, при каком значении ( x ) выражения ( x + 23 ), ( 5x - 1 ) и ( 2x - 11 ) являются последовательными членами арифметической прогрессии, вспомним, что для трех чисел ( a ), ( b ), и ( c ) (где ( a < b < c )) они образуют арифметическую прогрессию, если выполнено условие:
[
2b = a + c
]
В нашем случае:
- ( a = x + 23 )
- ( b = 5x - 1 )
- ( c = 2x - 11 )
Подставим эти выражения в наше уравнение:
[
2(5x - 1) = (x + 23) + (2x - 11)
]
Теперь упростим каждую часть уравнения:
Левая часть:
[
2(5x - 1) = 10x - 2
]
Правая часть:
[
(x + 23) + (2x - 11) = x + 2x + 23 - 11 = 3x + 12
]
Теперь подставим упрощенные части в уравнение:
[
10x - 2 = 3x + 12
]
Теперь решим это уравнение. Сначала перенесем все члены с ( x ) в одну сторону, а свободные в другую:
[
10x - 3x = 12 + 2
]
Это даст:
[
7x = 14
]
Теперь поделим обе стороны на 7:
[
x = 2
]
Таким образом, значение ( x ), при котором выражения ( x + 23 ), ( 5x - 1 ) и ( 2x - 11 ) являются последовательными членами арифметической прогрессии, равно ( 2 ).
Проверка:
Теперь можем подставить ( x = 2 ) в выражения и проверить:
- ( x + 23 = 2 + 23 = 25 )
- ( 5x - 1 = 5(2) - 1 = 10 - 1 = 9 )
- ( 2x - 11 = 2(2) - 11 = 4 - 11 = -7 )
Значения: ( 25 ), ( 9 ), ( -7 ).
Теперь проверим, являются ли эти значения членами АП:
Проверяем условие ( 2b = a + c ):
[
2(9) = 25 + (-7)
]
[
18 = 18
]
Условие выполняется, следовательно, решение правильное. Таким образом, ответ: ( x = 2 ).
