При каком значении x значения выражений x+23 , 5x-1 и 2x-11 являются последовательными членами арифметической прогрессии?

Чтобы выяснить, при каком значении \( x \) выражения \( x + 23 \), \( 5x - 1 \) и \( 2x - 11 \) являются последовательными членами арифметической прогрессии, вспомним, что для трех чисел \( a \), \( b \), и \( c \) (где \( a < b < c \)) они образуют арифметическую прогрессию, если выполнено условие:

\[ 2b = a + c \]

В нашем случае:

• \( a = x + 23 \)
• \( b = 5x - 1 \)
• \( c = 2x - 11 \)

Подставим эти выражения в наше уравнение:

\[ 2(5x - 1) = (x + 23) + (2x - 11) \]

Теперь упростим каждую часть уравнения:

1. Левая часть: \[ 2(5x - 1) = 10x - 2 \]

2. Правая часть: \[ (x + 23) + (2x - 11) = x + 2x + 23 - 11 = 3x + 12 \]

Теперь подставим упрощенные части в уравнение:

\[ 10x - 2 = 3x + 12 \]

Теперь решим это уравнение. Сначала перенесем все члены с \( x \) в одну сторону, а свободные в другую:

\[ 10x - 3x = 12 + 2 \]

Это даст:

\[ 7x = 14 \]

Теперь поделим обе стороны на 7:

\[ x = 2 \]

Таким образом, значение \( x \), при котором выражения \( x + 23 \), \( 5x - 1 \) и \( 2x - 11 \) являются последовательными членами арифметической прогрессии, равно \( 2 \).

Проверка:

Теперь можем подставить \( x = 2 \) в выражения и проверить:

• \( x + 23 = 2 + 23 = 25 \)
• \( 5x - 1 = 5(2) - 1 = 10 - 1 = 9 \)
• \( 2x - 11 = 2(2) - 11 = 4 - 11 = -7 \)

Значения: \( 25 \), \( 9 \), \( -7 \).

Теперь проверим, являются ли эти значения членами АП:

Проверяем условие \( 2b = a + c \):

\[ 2(9) = 25 + (-7) \] \[ 18 = 18 \]

Условие выполняется, следовательно, решение правильное. Таким образом, ответ: \( x = 2 \).