X * [[3, - 1], [4, 5]] = [[- 1, 2], [- 3, 5]]

Чтобы решить данное уравнение, мы имеем дело с матрицами. У нас есть матрица \( X \), которая умножается на матрицу \( A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \) и равна матрице \( B = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix} \).

Записываем уравнение:

\[ X \cdot A = B \]

Чтобы найти матрицу \( X \), нам нужно выразить её через матрицу \( B \) и обратную матрицу \( A \), т.е.:

\[ X = B \cdot A^{-1} \]

Теперь давайте найдем обратную матрицу \( A \).

Шаг 1: Найти определитель матрицы \( A \)

Определитель 2x2 матрицы \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) находится по формуле:

\[ \text{det}(A) = ad - bc \]

Для нашей матрицы:

\[ a = 3, \quad b = -1, \quad c = 4, \quad d = 5 \]

Расчитаем определитель:

\[ \text{det}(A) = (3 \cdot 5) - (-1 \cdot 4) = 15 + 4 = 19 \]

Шаг 2: Найти обратную матрицу \( A^{-1} \)

Обратная матрица 2x2 вычисляется по формуле:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

Подставим значения:

\[ A^{-1} = \frac{1}{19} \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ -4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{19} & \frac{1}{19} \\ -\frac{4}{19} & \frac{3}{19} \end{bmatrix} \]

Шаг 3: Умножить матрицу \( B \) на \( A^{-1} \)

Теперь нам нужно выполнить умножение матрицы \( B \) на матрицу \( A^{-1} \):

\[ B = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}, \quad A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{5}{19} & \frac{1}{19} \\ -\frac{4}{19} & \frac{3}{19} \end{bmatrix} \]

Рассчитаем произведение \( B \cdot A^{-1} \):

\[ X = B \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 \cdot \frac{5}{19} + 2 \cdot -\frac{4}{19} & -1 \cdot \frac{1}{19} + 2 \cdot \frac{3}{19} \\ -3 \cdot \frac{5}{19} + 5 \cdot -\frac{4}{19} & -3 \cdot \frac{1}{19} + 5 \cdot \frac{3}{19} \end{bmatrix} \]

Вычислим каждый элемент:

• Первый элемент (1,1):

\[ -1 \cdot \frac{5}{19} + 2 \cdot -\frac{4}{19} = -\frac{5}{19} - \frac{8}{19} = -\frac{13}{19} \]

• Второй элемент (1,2):

\[ -1 \cdot \frac{1}{19} + 2 \cdot \frac{3}{19} = -\frac{1}{19} + \frac{6}{19} = \frac{5}{19} \]

• Третий элемент (2,1):

\[ -3 \cdot \frac{5}{19} + 5 \cdot -\frac{4}{19} = -\frac{15}{19} - \frac{20}{19} = -\frac{35}{19} \]

• Четвёртый элемент (2,2):

\[ -3 \cdot \frac{1}{19} + 5 \cdot \frac{3}{19} = -\frac{3}{19} + \frac{15}{19} = \frac{12}{19} \]

Теперь мы можем записать матрицу \( X \):

\[ X = \begin{bmatrix} -\frac{13}{19} & \frac{5}{19} \\ -\frac{35}{19} & \frac{12}{19} \end{bmatrix} \]

Таким образом, решение задачи — это матрица:

\[ X = \begin{bmatrix} -\frac{13}{19} & \frac{5}{19} \\ -\frac{35}{19} & \frac{12}{19} \end{bmatrix} \]