Для решения этой задачи мы будем использовать понятие биномиального распределения, поскольку у нас есть фиксированное количество испытаний (вытяжек из мишени) с двумя возможными исходами (попадание или промах) и известной вероятностью успеха.
Дано:
- Вероятность попадания в мишень ( p = 0.6 )
- Вероятность промаха ( q = 1 - p = 0.4 )
- Общее количество выстрелов ( n = 6 )
- Мы ищем вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее 2 раз.
Обозначения:
- Обозначим количество попаданий как ( X ). Тогда ( X ) имеет биномиальное распределение ( B(n = 6, p = 0.6) ).
Мы хотим найти вероятность ( P(X \geq 2) ). Это можно выразить через вероятность комплементарного события:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))
]
Теперь нужно рассчитать ( P(X = 0) ) и ( P(X = 1) ).
Биномиальная формула:
Вероятность ( P(X = k) ) для биномиального распределения рассчитывается по формуле:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — это число сочетаний (или биномиальный коэффициент), вычисляемый по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Расчет ( P(X = 0) ):
Для ( k = 0 ):
[
P(X = 0) = C(6, 0) \cdot (0.6)^0 \cdot (0.4)^6
]
[
C(6, 0) = 1, \quad (0.6)^0 = 1, \quad (0.4)^6 = 0.4^6 = 0.004096
]
Следовательно:
[
P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.004096 = 0.004096
]
Расчет ( P(X = 1) ):
Для ( k = 1 ):
[
P(X = 1) = C(6, 1) \cdot (0.6)^1 \cdot (0.4)^5
]
[
C(6, 1) = 6, \quad (0.6)^1 = 0.6, \quad (0.4)^5 = 0.4^5 = 0.01024
]
Следовательно:
[
P(X = 1) = 6 \cdot 0.6 \cdot 0.01024 = 0.073728
]
Подсчет ( P(X < 2) ):
Теперь можем найти:
[
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.004096 + 0.073728 = 0.077824
]
Финальный расчет:
Теперь можем найти требуемую вероятность:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.077824 = 0.922176
]
Ответ:
Вероятность того, что стрелок попадет в мишень не менее 2 раз, составляет приблизительно 0.922 (или 92.2%).
