Радиус описанной около квадрата окружности равен 2 корень 2. Найдите площадь квадрата

Давайте решим задачу о вычислении площади квадрата, вокруг которого описана окружность с радиусом \( R = 2\sqrt{2} \).

Шаг 1: Понимание окружности, описанной около квадрата

Окружность, описанная вокруг квадрата, касается всех четырех вершин квадрата. Центр этой окружности совпадает с центром квадрата.

Шаг 2: Связь между радиусом окружности и стороной квадрата

Для квадрата со стороной \( a \), радиус \( R \) описанной окружности можно выразить через сторону квадрата следующим образом:

\[ R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

Это происходит потому, что расстояние от центра квадрата до его вершины (это и есть радиус описанной окружности) равно половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна \( a\sqrt{2} \), и, следовательно, радиус \( R \) можно записать как:

\[ R = \frac{\text{диагональ}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

Шаг 3: Подстановка известного радиуса

У нас есть радиус \( R = 2\sqrt{2} \). Подставим это значение в уравнение:

\[ 2\sqrt{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]

Шаг 4: Решение уравнения для нахождения стороны квадрата

Умножим обе стороны уравнения на 2:

\[ 4\sqrt{2} = a\sqrt{2} \]

Теперь поделим обе стороны на \( \sqrt{2} \):

\[ a = 4 \]

Шаг 5: Нахождение площади квадрата

Площадь квадрата \( S \) вычисляется как квадрат длины его стороны:

\[ S = a^2 \]

Подставим значение \( a = 4 \):

\[ S = 4^2 = 16 \]

Ответ

Площадь квадрата равна \( 16 \) квадратных единиц.

Таким образом, мы нашли, что площадь квадрата, вокруг которого описана окружность с радиусом \( 2\sqrt{2} \), составляет \( 16 \).