Давайте решим задачу о вычислении площади квадрата, вокруг которого описана окружность с радиусом ( R = 2\sqrt{2} ).
Шаг 1: Понимание окружности, описанной около квадрата
Окружность, описанная вокруг квадрата, касается всех четырех вершин квадрата. Центр этой окружности совпадает с центром квадрата.
Шаг 2: Связь между радиусом окружности и стороной квадрата
Для квадрата со стороной ( a ), радиус ( R ) описанной окружности можно выразить через сторону квадрата следующим образом:
[
R = \frac{a \sqrt{2}}{2}
]
Это происходит потому, что расстояние от центра квадрата до его вершины (это и есть радиус описанной окружности) равно половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна ( a\sqrt{2} ), и, следовательно, радиус ( R ) можно записать как:
[
R = \frac{\text{диагональ}}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}
]
Шаг 3: Подстановка известного радиуса
У нас есть радиус ( R = 2\sqrt{2} ). Подставим это значение в уравнение:
[
2\sqrt{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}
]
Шаг 4: Решение уравнения для нахождения стороны квадрата
Умножим обе стороны уравнения на 2:
[
4\sqrt{2} = a\sqrt{2}
]
Теперь поделим обе стороны на ( \sqrt{2} ):
[
a = 4
]
Шаг 5: Нахождение площади квадрата
Площадь квадрата ( S ) вычисляется как квадрат длины его стороны:
[
S = a^2
]
Подставим значение ( a = 4 ):
[
S = 4^2 = 16
]
Ответ
Площадь квадрата равна ( 16 ) квадратных единиц.
Таким образом, мы нашли, что площадь квадрата, вокруг которого описана окружность с радиусом ( 2\sqrt{2} ), составляет ( 16 ).
