Радиус описанной около квадрата окружности равен 3 корень 2 . Найдите радиус вписанный в квадрат окружности
Чтобы решить задачу, начнем с определения связей между радиусами описанной и вписанной окружностей квадрата.
Определение радиусов:
- Радиус описанной окружности \( R \) для квадрата равен половине длины диагонали квадрат.
- Радиус вписанной окружности \( r \) для квадрата равен половине длины стороны квадрата.
Формула для диагонали квадрата: Если длина стороны квадрата равна \( a \), то длина диагонали квадрата \( d \) вычисляется по формуле: \[ d = a \sqrt{2} \]
Радиус описанной окружности: Тогда радиус \( R \) описанной окружности будет: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]
Радиус вписанной окружности: Радиус \( r \) вписанной окружности выражается как: \[ r = \frac{a}{2} \]
Связь между радиусами: Из выражений для \( R \) и \( r \): \[ R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \quad \text{и} \quad r = \frac{a}{2} \]
Поделим одно уравнение на другое: \[ \frac{R}{r} = \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2}} = \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad R = \sqrt{2} r \]
Подставляем известное значение: По условию задачи радиус описанной окружности равен \( R = 3 \sqrt{2} \): \[ 3 \sqrt{2} = \sqrt{2} r \]
Решаем уравнение для r: Теперь можем выразить радиус вписанной окружности \( r \): \[ r = \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \]
Итак, радиус вписанной окружности квадрата равен \( 3 \).
