Решить

Для решения задач с векторами воспользуемся основными формулами и свойствами векторов. **Задача 1: Найти координаты суммы векторов** Вам даны векторы \( \vec{a} = (4; -3; 2) \) и \( \vec{b} = (-1; 1; 1) \). Сумма векторов вычисляется по формуле: \[ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1; a_2 + b_2; a_3 + b_3) \] Подставим значения: \[ \vec{a} + \vec{b} = (4 + (-1); -3 + 1; 2 + 1) = (3; -2; 3) \] **Задача 2: Найти скалярное произведение векторов \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\)** Для векторов \( \vec{c} = (3; -2; 4) \) и \( \vec{d} = (6; 0; -1) \), скалярное произведение вычисляется по формуле: \[ \vec{c} \cdot \vec{d} = c_1 \cdot d_1 + c_2 \cdot d_2 + c_3 \cdot d_3 \] Подставим значения: \[ \vec{c} \cdot \vec{d} = 3 \cdot 6 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 18 + 0 - 4 = 14 \] **Задача 3: Найти косинус угла между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \)** Косинус угла между двумя векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) вычисляется по формуле: \[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \] Сначала найдем длины векторов: \[ |\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29} \] \[ |\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] Уже найденное скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \] Теперь вычислим косинус угла: \[ \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{87}} \] **Задача 4: Вычислить значение** Нам нужно найти \( |a - 2b| \), где \( |\vec{a}| = 4 \), \( |\vec{b}| = 3 \), и угол между ними \(120^\circ\). Сначала найдём \(|a - 2b|\) с помощью формулы для длины вектора разности: \[ |a - 2b| = \sqrt{a^2 + (2b)^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) \cdot \cos 120^\circ} \] Подставим значения: \[ |a - 2b| = \sqrt{4^2 + (2 \cdot 3)^2 - 2 \cdot 4 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (-0.5)} \] \[ = \sqrt{16 + 36 + 48} = \sqrt{100} = 10 \] Таким образом мы решили все задачи.