Давайте решим поставленные задачи по порядку.
Задача 1
В прямоугольном треугольнике один катет равен 15 см, гипотенуза — 17 см. Найдите другой катет.
Используем теорему Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
где (c) — гипотенуза, (a) и (b) — катеты. Подставим известные значения:
[
17^2 = 15^2 + b^2
]
[
289 = 225 + b^2
]
[
b^2 = 289 - 225 = 64
]
[
b = \sqrt{64} = 8 \text{ см}
]
Ответ: Другой катет равен 8 см.
Задача 2
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 29 см, а высота, проведённая к основанию, равна 21 см. Найдите основание треугольника.
Обозначим основание как (b). В равнобедренном треугольнике высота делит основание на две равные части, поэтому:
[
\frac{b}{2} = x
]
где (x) — половина основания. Также по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике (где одна сторона — высота, другая — половина основания, а третья — боковая сторона):
[
29^2 = x^2 + 21^2
]
[
841 = x^2 + 441
]
[
x^2 = 841 - 441 = 400
]
[
x = \sqrt{400} = 20
]
Теперь найдем основание:
[
b = 2x = 2 \cdot 20 = 40 \text{ см}
]
Ответ: Основание треугольника равно 40 см.
Задача 3
Стороны треугольника равны 36 см, 25 см и 29 см. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.
Сначала определим, какая из сторон является наибольшей. Это 36 см. Для нахождения высоты воспользуемся формулой:
[
h = \frac{2S}{a}
]
где (S) — площадь треугольника, а (a) — основание. Используем формулу Герона для расчета площади:
[
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{36 + 25 + 29}{2} = 45
]
[
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{45(45-36)(45-25)(45-29)}
]
[
S = \sqrt{45 \cdot 9 \cdot 20 \cdot 16} = \sqrt{14400} = 120 \text{ см}^2
]
Теперь подставим значение площади в формулу для высоты:
[
h = \frac{2 \cdot 120}{36} = \frac{240}{36} \approx 6.67 \text{ см}
]
Ответ: Высота, проведённая к большей стороне, равна примерно 6.67 см.
Задача 4
Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Вычислите периметр ромба.
Сначала найдем сторону ромба с помощью половин диагоналей. Половины диагоналей:
[
d_1 = 30 \div 2 = 15 \text{ см}, \quad d_2 = 40 \div 2 = 20 \text{ см}
]
Используем теорему Пифагора, чтобы найти сторону ромба:
[
s = \sqrt{(d_1)^2 + (d_2)^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}
]
Периметр ромба равен:
[
P = 4s = 4 \cdot 25 = 100 \text{ см}
]
Ответ: Периметр ромба равен 100 см.
