Чтобы решить задачу о коллинеарности векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ), нам нужно понять, что два вектора коллинеарны, если они лежат на одной прямой. Это происходит, когда один вектор является скалярным множителем другого.
В данной задаче векторы представлены следующим образом:
[
\mathbf{a} = (3, 6)
]
[
\mathbf{b} = (9, y)
]
Шаг 1: Установить условия коллинеарности
Векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) коллинеарны, если существует число ( k ) (скаляр), такое что:
[
\mathbf{b} = k \cdot \mathbf{a}
]
Это можно записать по компонентам:
[
(9, y) = k \cdot (3, 6)
]
Отсюда можно составить систему уравнений по компонентам:
- ( 9 = 3k )
- ( y = 6k )
Шаг 2: Найти ( k )
Решим первое уравнение:
[
9 = 3k \implies k = \frac{9}{3} = 3
]
Шаг 3: Подставить значение ( k )
Теперь подставим ( k = 3 ) во второе уравнение, чтобы найти ( y ):
[
y = 6k = 6 \cdot 3 = 18
]
Ответ
Таким образом, значение ( y ), при котором векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) коллинеарны, равно ( 18 ).
Проверка
Для уверенности, проверим, что векторы с найденным ( y ) действительно коллинеарны:
[
\mathbf{a} = (3, 6) \quad \text{и} \quad \mathbf{b} = (9, 18)
]
Итак, проверяем, что
[
\frac{9}{3} = 3 \quad \text{и} \quad \frac{18}{6} = 3
]
Поскольку оба отношения равны ( k = 3 ), векторы действительно коллинеарны.
Таким образом, ответ: ( y = 18 ).
