. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь - 12 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольник, для которого известны два параметра:

1. Периметр (P) равен 16 см.
2. Площадь (S) равна 12 см².

Обозначим длины сторон прямоугольника как \( a \) (длина) и \( b \) (ширина).

Шаг 1: Составление уравнений

Для прямоугольника можно записать следующие формулы:

1. Формула для периметра: \[ P = 2(a + b) \] Подставляем значение периметра: \[ 2(a + b) = 16 \] Делим обе стороны на 2: \[ a + b = 8 \quad (1) \]

2. Формула для площади: \[ S = a \cdot b \] Подставляем значение площади: \[ a \cdot b = 12 \quad (2) \]

Шаг 2: Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( a + b = 8 \)
2. \( ab = 12 \)

Из уравнения (1) можно выразить \( b \): \[ b = 8 - a \]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение (2): \[ a(8 - a) = 12 \] Раскроем скобки: \[ 8a - a^2 = 12 \] Переместим все на одну сторону, чтобы у нас получилось квадратное уравнение: \[ -a^2 + 8a - 12 = 0 \] Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид: \[ a^2 - 8a + 12 = 0 \]

Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 1 \), \( b = -8 \), и \( c = 12 \).

Сначала найдем дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \]

Теперь подставим дискриминант в формулу: \[ a = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 4}{2} \]

Таким образом, у нас два возможных значения:

1. \( a_1 = \frac{12}{2} = 6 \)
2. \( a_2 = \frac{4}{2} = 2 \)

Шаг 4: Найдем соответствующие значения \( b \)

Теперь подставим найденные значения \( a \) обратно в уравнение \( b = 8 - a \):

1. Если \( a = 6 \): \[ b = 8 - 6 = 2 \]

2. Если \( a = 2 \): \[ b = 8 - 2 = 6 \]

Вывод

Таким образом, стороны прямоугольника:

• \( a = 6 \) см и \( b = 2 \) см (или наоборот).

Ответ: длины сторон прямоугольника 6 см и 2 см.