Точечный источник света расположен на расстоянии 0,9 м от диска. Тень от этого диска падает на экран, который располагается на расстоянии 0,5 м. Экран начинают удалять со…

Для решения задачи используем геометрический подход, связанный с параллельными лучами света и подобием треугольников.

Данные задачи:

• Расстояние от источника света до диска \( d_1 = 0.9 \, \text{м} \)
• Расстояние от диска до экрана \( d_2 = 0.5 \, \text{м} \)
• Скорость удаления экрана \( v = 2.5 \, \text{см/с} = 0.025 \, \text{м/с} \)

Шаг 1: Определим положение экрана

Изначально экран находится на расстоянии \( d_2 = 0.5 \, \text{м} \) от диска.

Шаг 2: Площадь тени

Обозначим радиус диска как \( R \). Тень от диска, образованная точечным источником света, будет расширяться, когда экран удаляется от диска.

Изначальная площадь тени \( S_1 \) на экране: \[ S_1 = \text{(площадь круга)} = \pi R^2 \]

Допустим, когда экран удалится на \( x \) метров, расстояние от диска до экрана станет \( d_2 + x \).

Теперь радиус тени будет увеличен, так как лучи света исходят из точечного источника. Используя подобие треугольников, можно записать новое выражение для радиуса тени \( R' \):

\[ \frac{R'}{d_2 + x} = \frac{R}{d_1} \] откуда \[ R' = R \cdot \frac{d_2 + x}{d_1} \]

Шаг 3: Площадь тени при новом расстоянии

Площадь новой тени \( S_2 \): \[ S_2 = \pi (R')^2 = \pi \left( R \cdot \frac{d_2 + x}{d_1} \right)^2 = \pi R^2 \cdot \left( \frac{d_2 + x}{d_1} \right)^2 \]

Шаг 4: Условие задачи

Нам нужно, чтобы площадь тени увеличилась в 2 раза: \[ S_2 = 2 S_1 \implies \pi R^2 \cdot \left( \frac{d_2 + x}{d_1} \right)^2 = 2 \cdot \pi R^2 \]

Сокращаем \( \pi R^2 \): \[ \left( \frac{d_2 + x}{d_1} \right)^2 = 2 \]

Извлечем корень: \[ \frac{d_2 + x}{d_1} = \sqrt{2} \] что можно переписать как: \[ d_2 + x = d_1 \sqrt{2} \]

Шаг 5: Выразим \( x \)

Теперь подставим известные значения: \[ 0.5 + x = 0.9 \sqrt{2} \] Решаем для \( x \): \[ x = 0.9\sqrt{2} - 0.5 \] Теперь необходимо найти численное значение: \[ \sqrt{2} \approx 1.414 \implies 0.9 \cdot 1.414 \approx 1.2726 \]

Подставляем: \[ x \approx 1.2726 - 0.5 \approx 0.7726 \, \text{м} \]

Шаг 6: Найдем время

Поскольку экран движется со скоростью \( v = 0.025 \, \text{м/с} \), время \( t \): \[ t = \frac{x}{v} = \frac{0.7726}{0.025} \approx 30.904 \, \text{с} \]

Ответ

Время, через которое площадь тени на экране увеличится в 2 раза, составляет примерно 30.9 секунд.