Для решения задачи используем геометрический подход, связанный с параллельными лучами света и подобием треугольников.
Данные задачи:
- Расстояние от источника света до диска ( d_1 = 0.9 , \text{м} )
- Расстояние от диска до экрана ( d_2 = 0.5 , \text{м} )
- Скорость удаления экрана ( v = 2.5 , \text{см/с} = 0.025 , \text{м/с} )
Шаг 1: Определим положение экрана
Изначально экран находится на расстоянии ( d_2 = 0.5 , \text{м} ) от диска.
Шаг 2: Площадь тени
Обозначим радиус диска как ( R ). Тень от диска, образованная точечным источником света, будет расширяться, когда экран удаляется от диска.
Изначальная площадь тени ( S_1 ) на экране:
[
S_1 = \text{(площадь круга)} = \pi R^2
]
Допустим, когда экран удалится на ( x ) метров, расстояние от диска до экрана станет ( d_2 + x ).
Теперь радиус тени будет увеличен, так как лучи света исходят из точечного источника. Используя подобие треугольников, можно записать новое выражение для радиуса тени ( R' ):
[
\frac{R'}{d_2 + x} = \frac{R}{d_1}
]
откуда
[
R' = R \cdot \frac{d_2 + x}{d_1}
]
Шаг 3: Площадь тени при новом расстоянии
Площадь новой тени ( S_2 ):
[
S_2 = \pi (R')^2 = \pi \left( R \cdot \frac{d_2 + x}{d_1} \right)^2 = \pi R^2 \cdot \left( \frac{d_2 + x}{d_1} \right)^2
]
Шаг 4: Условие задачи
Нам нужно, чтобы площадь тени увеличилась в 2 раза:
[
S_2 = 2 S_1 \implies \pi R^2 \cdot \left( \frac{d_2 + x}{d_1} \right)^2 = 2 \cdot \pi R^2
]
Сокращаем ( \pi R^2 ):
[
\left( \frac{d_2 + x}{d_1} \right)^2 = 2
]
Извлечем корень:
[
\frac{d_2 + x}{d_1} = \sqrt{2}
]
что можно переписать как:
[
d_2 + x = d_1 \sqrt{2}
]
Шаг 5: Выразим ( x )
Теперь подставим известные значения:
[
0.5 + x = 0.9 \sqrt{2}
]
Решаем для ( x ):
[
x = 0.9\sqrt{2} - 0.5
]
Теперь необходимо найти численное значение:
[
\sqrt{2} \approx 1.414 \implies 0.9 \cdot 1.414 \approx 1.2726
]
Подставляем:
[
x \approx 1.2726 - 0.5 \approx 0.7726 , \text{м}
]
Шаг 6: Найдем время
Поскольку экран движется со скоростью ( v = 0.025 , \text{м/с} ), время ( t ):
[
t = \frac{x}{v} = \frac{0.7726}{0.025} \approx 30.904 , \text{с}
]
Ответ
Время, через которое площадь тени на экране увеличится в 2 раза, составляет примерно 30.9 секунд.
