2 + 14/19 + 1 5/7(3 7/18 - 2/9)
Давайте решим задачу шаг за шагом. Нам нужно вычислить следующее выражение:
\[ 2 + \frac{14}{19} + 1 \frac{5}{7}(3 \frac{7}{18} - \frac{2}{9}) \]
Шаг 1: Преобразование смешанного числа
Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
- \( 1 \frac{5}{7} = \frac{7 \times 1 + 5}{7} = \frac{12}{7} \)
- \( 3 \frac{7}{18} = \frac{18 \times 3 + 7}{18} = \frac{54 + 7}{18} = \frac{61}{18} \)
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
\[ 2 + \frac{14}{19} + \frac{12}{7} \left( \frac{61}{18} - \frac{2}{9} \right) \]
Шаг 2: Вычисление выражения в скобках
Теперь решим, что находится в скобках:
\( \frac{61}{18} - \frac{2}{9} \)
Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОД) между \( 18 \) и \( 9 \) равен \( 18 \).
Преобразуем вторую дробь:
\[ \frac{2}{9} = \frac{2 \times 2}{9 \times 2} = \frac{4}{18} \]
Теперь вычтем дроби:
\[ \frac{61}{18} - \frac{4}{18} = \frac{61 - 4}{18} = \frac{57}{18} \]
Шаг 3: Продолжим вычисление
Теперь возвращаемся к нашему выражению:
\[ 2 + \frac{14}{19} + \frac{12}{7} \cdot \frac{57}{18} \]
Шаг 4: Умножение дробей
Умножим дроби:
\[ \frac{12}{7} \cdot \frac{57}{18} = \frac{12 \cdot 57}{7 \cdot 18} \]
Теперь посчитаем произведение числителей и знаменателей:
- Числитель: \( 12 \cdot 57 = 684 \)
- Знаменатель: \( 7 \cdot 18 = 126 \)
Теперь мы имеем:
\[ 2 + \frac{14}{19} + \frac{684}{126} \]
Шаг 5: Упрощение дроби \( \frac{684}{126} \)
Теперь упростим \( \frac{684}{126} \):
Находим НОД (наибольший общий делитель) для \( 684 \) и \( 126 \). Если мы делим обе части на \( 42 \):
\[ \frac{684 \div 42}{126 \div 42} = \frac{16.2857142857}{3} \]
Находим через деление:
\[ 684 \div 42 = 16, \quad \text{и} \quad 126 \div 42 = 3 \]
Таким образом:
\[ \frac{684}{126} = \frac{16}{3} \]
Шаг 6: Сложение всех частей
Теперь подставим:
\[ 2 + \frac{14}{19} + \frac{16}{3} \]
Приведем все к общему знаменателю. НОК для \( 1, 19 \) и \( 3 \) равен \( 57 \).
Преобразуем \( 2 \): \[ 2 = \frac{2 \cdot 57}{57} = \frac{114}{57} \]
Преобразуем \( \frac{14}{19} \): \[ \frac{14}{19} = \frac{14 \cdot 3}{19 \cdot 3} = \frac{42}{57} \]
Преобразуем \( \frac{16}{3} \): \[ \frac{16}{3} = \frac{16 \cdot 19}{3 \cdot 19} = \frac{304}{57} \]
Теперь можем сложить:
\[ \frac{114}{57} + \frac{42}{57} + \frac{304}{57} = \frac{114 + 42 + 304}{57} = \frac{460}{57} \]
Шаг 7: Преобразование в смешанное число
Теперь можем преобразовать \( \frac{460}{57} \) в смешанное число:
\[ 460 \div 57 = 8 \quad \text{(целая часть)} \] Остаток: \( 460 - 57 \cdot 8 = 460 - 456 = 4 \)
Поэтому окончательный ответ:
\[ 8 \frac{4}{57} \]
Таким образом, решение задачи:
\[ 2 + \frac{14}{19} + 1 \frac{5}{7}(3 \frac{7}{18} - \frac{2}{9}) = 8 \frac{4}{57} \]
