Рабочий должен был за определенное время изготовить 72 детали. Однако ежедневно он изготавливал на 4 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока . За сколько дней он выполнил работу?

Давай разберем задачу шаг за шагом. 1. **Понимание условий задачи**: - Рабочий должен изготовить 72 детали. - Он изготавливает на 4 детали больше в день, чем планировал. - Он завершает работу на 3 дня раньше срока. 2. **Обозначим переменные**: - Пусть \( x \) — это количество дней, которые рабочий должен был работать по плану. - Пусть \( y \) — это количество деталей, которые планировалось изготавливать за день. 3. **Известно**: - Общее количество деталей: \( 72 = y \cdot x \). - Если рабочий изготавливает на 4 детали больше, чем планировалось, то он изготавливает \( y + 4 \) деталей в день. - Рабочий закончил на 3 дня раньше, т.е. он работал \( x - 3 \) дней. 4. **Запишем уравнение для фактически выполненной работы**: \[ 72 = (y + 4) \cdot (x - 3) \] 5. **У нас сейчас два уравнения**: - \( 72 = y \cdot x \) (1) - \( 72 = (y + 4) \cdot (x - 3) \) (2) 6. **Теперь мы можем выразить \( y \) из первого уравнения (1)**: \[ y = \frac{72}{x} \] Подставим это значение во второе уравнение (2): \[ 72 = \left(\frac{72}{x} + 4\right) \cdot (x - 3) \] 7. **Упростим уравнение**: Разделим обе стороны на \( 72 \): \[ 1 = \left(\frac{1}{x} + \frac{4}{72}\right) \cdot (x - 3) \] Упрощаем \( \frac{4}{72} = \frac{1}{18} \): \[ 1 = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{18}\right) \cdot (x - 3) \] 8. **Умножим обе части на \( x \cdot 18 \)**, чтобы избавиться от дробей: \[ 18x = (18 + x)(x - 3) \] 9. **Раскроем скобки**: \[ 18x = 18x - 54 + x^2 - 3x \] Упрощаем уравнение: \[ 0 = x^2 - 3x - 54 \] Переносим все в одну сторону: \[ x^2 - 3x - 54 = 0 \] 10. **Решим квадратное уравнение**: Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -54 \): \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{225}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm 15}{2} \] Значения: - \( x = \frac{18}{2} = 9 \) - \( x = \frac{-12}{2} = -6 \) (отбрасываем, так как количество дней не может быть отрицательным) 11. **Ответ**: Рабочий должен был работать \( 9 \) дней, но так как он закончил на 3 дня раньше, фактическое количество дней, когда он работал, равно \( 9 - 3 = 6 \) дней. Таким образом, рабочий выполнил работу за **6 дней**.