Чтобы найти объем правильной четырёхугольной пирамиды, воспользуемся формулой для объема пирамиды:
[
V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h
]
где ( S ) — площадь основания, ( h ) — высота пирамиды.
- Найдем площадь основания. Основание — квадрат со стороной 8:
[
S = 8 \cdot 8 = 64
]
- Найдем высоту ( h ) пирамиды. Из условия известно, что боковое ребро равно ( 2\sqrt{17} ).
Обозначим вершину пирамиды как ( V ) и центр основания как ( O ). Тогда ( VO = h ), и треугольник ( VAO ) (где ( A ) — вершина основания) — прямоугольный с гипотенузой ( VA = 2\sqrt{17} ).
Рассчитаем ( AO ) — это половина диагонали основания. Диагональ квадрата со стороной 8 равна:
[
d = 8\sqrt{2}
]
Поэтому ( AO = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} ).
Используем теорему Пифагора в треугольнике ( VAO ):
[
(2\sqrt{17})^2 = (4\sqrt{2})^2 + h^2
]
[
4 \cdot 17 = 16 \cdot 2 + h^2
]
[
68 = 32 + h^2
]
[
h^2 = 36
]
[
h = 6
]
- Подставим найденные значения в формулу для объема:
[
V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 6 = \frac{384}{3} = 128
]
Таким образом, объем пирамиды равен 128.
