Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 8, а боковое ребро равно 2V17
Чтобы найти объем правильной четырёхугольной пирамиды, воспользуемся формулой для объема пирамиды:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \]
где \( S \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.
- Найдем площадь основания. Основание — квадрат со стороной 8:
\[ S = 8 \cdot 8 = 64 \]
- Найдем высоту \( h \) пирамиды. Из условия известно, что боковое ребро равно \( 2\sqrt{17} \).
Обозначим вершину пирамиды как \( V \) и центр основания как \( O \). Тогда \( VO = h \), и треугольник \( VAO \) (где \( A \) — вершина основания) — прямоугольный с гипотенузой \( VA = 2\sqrt{17} \).
Рассчитаем \( AO \) — это половина диагонали основания. Диагональ квадрата со стороной 8 равна:
\[ d = 8\sqrt{2} \]
Поэтому \( AO = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \).
Используем теорему Пифагора в треугольнике \( VAO \):
\[ (2\sqrt{17})^2 = (4\sqrt{2})^2 + h^2 \]
\[ 4 \cdot 17 = 16 \cdot 2 + h^2 \]
\[ 68 = 32 + h^2 \]
\[ h^2 = 36 \]
\[ h = 6 \]
- Подставим найденные значения в формулу для объема:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 6 = \frac{384}{3} = 128 \]
Таким образом, объем пирамиды равен 128.
