Введите ответ в числовое поле С высоты 67,5 м свободно падает без начальной скорости точечное тело. На некоторой высоте h потенциальная энергия этого тела относительно поверхности…
Введите ответ в числовое поле С высоты 67,5 м свободно падает без начальной скорости точечное тело. На некоторой высоте h потенциальная энергия этого тела относительно поверхности земли равна половине его кинетической энергии. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите скорость этого тела на высоте һ. Ответ укажите в СИ и округлите до целого числа. Ускорение свободного падения равно 10 м/с2
Для решения задачи используем законы механики, в частности, связь между потенциальной и кинетической энергией.
Дано:
- Высота свободного падения \( H = 67,5 \, \text{м} \)
- Ускорение свободного падения \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \)
Определим потенциальную и кинетическую энергии:
- Потенциальная энергия \( U \) на высоте \( h \) определяется формулой: \[ U = mgh \]
- Кинетическая энергия \( K \) тела с массой \( m \) и скоростью \( v \): \[ K = \frac{1}{2} mv^2 \]
По условию задачи:
- Потенциальная энергия на высоте \( h \) равна половине кинетической энергии: \[ U = \frac{1}{2} K \Rightarrow mgh = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} mv^2 \]
Упростим уравнение, отменив массу \( m \) (она не равна нулю): \[ gh = \frac{1}{4} v^2 \]
Перепишем уравнение для нахождения скорости: \[ v^2 = 4gh \] \[ v = \sqrt{4gh} \]
Теперь выразим \( h \):
- Тело падает с высоты \( H \), поэтому: \[ h = H - h' \quad \text{(где \( h' \) — высота, на которой измеряем скорость)} \]
- Высоту \( h' \) можно сунуть в \( H \): \[ h = H - h \]
- То есть, если принять, что тело упало на высоту \( h \), тогда: \[ v^2 = 4g(H - h) \]
Для удобства, подставим \( h \) обратно в формулу: Чтобы найти высоту, на которой потенциальная энергия в два раза меньше кинетической, мы можем решить уравнение: \[ mgh = \frac{1}{2} K \Rightarrow gh = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} mv^2 \]
Подставим значение \( g \): Упрощая:
- Помня, что \( v = \sqrt{2g(H - h')} \)
- Подставляем \( v^2 \): \[ \frac{1}{4} v^2 = gh \quad \Rightarrow \quad 4gh = 4g(H - h) \]
Решив: \[ h = \frac{H}{3} \quad \text{или} \quad h = \frac{67,5}{3} \] Это даст нам: \[ h \approx 22,5 \, \text{м} \]
Теперь найдем скорость на этой высоте \( h \): \[ v^2 = 4gh = 4 \cdot 10 \cdot 22,5 = 900 \] \[ v = \sqrt{900} = 30 \, \text{м/с} \]
Ответ: Таким образом, скорость тела на высоте \( h \) составляет \( 30 \, \text{м/с} \) (округлено до целого числа).
