Давайте рассмотрим задачу с двумя слесарями.
Обозначим:
- ( x ) — время, за которое первый слесарь может выполнить всю работу самостоятельно.
- ( y ) — время, за которое второй слесарь может выполнить всю работу самостоятельно.
Оба слесаря, работая вместе, выполняют задание за 12 часов. Это значит, что за 1 час они вместе выполняют (\frac{1}{12}) работы:
[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}
]
Если бы половину задания выполнил первый слесарь, а вторую половину — второй, то первому потребовалось бы времени на 5 часов больше, чем второму. Это можно записать так:
Половина работы для первого слесаря: (\frac{x}{2})
Половина работы для второго слесаря: (\frac{y}{2})
Из условия:
[
\frac{x}{2} = \frac{y}{2} + 5
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12})
- (\frac{x}{2} = \frac{y}{2} + 5)
Решим систему:
Из второго уравнения выразим (x) через (y):
[
x = y + 10
]
Подставим в первое уравнение:
[
\frac{1}{y+10} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}
]
Найдем общий знаменатель и сложим дроби:
[
\frac{y + (y + 10)}{y(y + 10)} = \frac{1}{12}
]
Упростим:
[
\frac{2y + 10}{y^2 + 10y} = \frac{1}{12}
]
Перемножим крест-накрест:
[
24y + 120 = y^2 + 10y
]
Приведем все к квадратному уравнению:
[
y^2 - 14y - 120 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
Найдем дискриминант ((D)):
[
D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676
]
Корни уравнения:
[
y_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{14 \pm 26}{2}
]
Корни:
[
y_1 = 20, \quad y_2 = -6
]
Отрицательный корень не подходит, значит (y = 20).
Теперь найдем (x):
[
x = y + 10 = 20 + 10 = 30
]
Ответ: первый слесарь выполнил бы работу за 30 часов, второй за 20 часов.
