Давайте решим эту задачу по шагам.
Дано:
- Площадь прямоугольника ( S = 12 , \text{дм}^2 ).
- Периметр прямоугольника ( P = 14 , \text{дм} ).
Задачи:
Найти длины сторон прямоугольника ( a ) и ( b ).
Формулы:
Шаг 1: Запишем уравнения
Из первого уравнения (площадь) можем выразить одну сторону через другую:
[
b = \frac{S}{a} = \frac{12}{a}
]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение (периметр):
[
P = 2(a + b) \implies 14 = 2\left(a + \frac{12}{a}\right)
]
Шаг 2: Упростим уравнение
Упростим уравнение:
[
14 = 2a + \frac{24}{a}
]
Теперь умножим на ( a ) (чтобы избавиться от дроби):
[
14a = 2a^2 + 24
]
Приведем уравнение к стандартному виду:
[
2a^2 - 14a + 24 = 0
]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение
Сначала упростим уравнение, разделив на 2:
[
a^2 - 7a + 12 = 0
]
Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
a = 1, \quad b = -7, \quad c = 12
]
Считаем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 1}{2}
]
Таким образом, мы получаем два значения для ( a ):
[
a_1 = \frac{8}{2} = 4 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{6}{2} = 3
]
Шаг 4: Найдем соответствующие значения ( b )
Теперь найдем ( b ) для каждого значения ( a ):
- Если ( a = 4 ):
[
b = \frac{12}{4} = 3
]
- Если ( a = 3 ):
[
b = \frac{12}{3} = 4
]
Таким образом, длины сторон прямоугольника:
- ( a = 4 , \text{дм}, b = 3 , \text{дм} ) (или наоборот).
Ответ:
Стороны прямоугольника равны 4 дм и 3 дм.
