Чтобы сократить выражение ( \frac{5x - x^2}{x^2 + x - 30} ), мы начнем с факторизации числителя и знаменателя.
Шаг 1: Факторизация числителя
Числитель: ( 5x - x^2 ) можно переписать так:
[
5x - x^2 = -x^2 + 5x = - (x^2 - 5x)
]
Теперь дальнейшее можно сделать, вынеся общий множитель:
[
= -x(x - 5)
]
Шаг 2: Факторизация знаменателя
Знаменатель: ( x^2 + x - 30 ) нужно разложить на множители. Мы ищем такие два числа, которые в сумме дают 1 (коэффициент при (x)) и в произведении дают -30. Подходящие числа: 6 и -5, так как ( 6 + (-5) = 1 ) и ( 6 \cdot (-5) = -30 ).
Таким образом, мы можем написать:
[
x^2 + x - 30 = (x - 5)(x + 6)
]
Шаг 3: Подстановка обратно в исходное выражение
Теперь, возвращаясь к нашему выражению:
[
\frac{5x - x^2}{x^2 + x - 30} = \frac{-x(x - 5)}{(x - 5)(x + 6)}
]
Шаг 4: Сокращение
Здесь мы видим, что множитель ( (x - 5) ) присутствует как в числителе, так и в знаменателе. Мы можем его сократить (при условии, что ( x \neq 5 ), поскольку деление на ноль невозможно):
[
= \frac{-x}{x + 6} \quad (x \neq 5)
]
Ответ
Итак, окончательный ответ, сокращенное выражение будет:
[
\frac{-x}{x + 6} \quad (x \neq 5)
]
Таким образом, мы нашли сокращенную форму оригинального выражения.
