Для решения этой задачи сначала обозначим катеты прямоугольного треугольника как ( a ) и ( b ), где ( a > b ). Из условия задачи у нас есть следующее:
Разность катетов равна 20 см:
[
a - b = 20
]
Гипотенуза равна 37 см:
[
c = 37
]
В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора выполняется следующее соотношение:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Теперь подставим известные значения в формулы. Сначала выразим ( a ) через ( b ) из первого уравнения:
[
a = b + 20
]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[
37^2 = (b + 20)^2 + b^2
]
Вычислим ( 37^2 ):
[
37^2 = 1369
]
Теперь у нас есть уравнение:
[
1369 = (b + 20)^2 + b^2
]
Распишем ( (b + 20)^2 ):
[
(b + 20)^2 = b^2 + 40b + 400
]
Теперь подставим это обратно в уравнение:
[
1369 = b^2 + 40b + 400 + b^2
]
Сложим подобные члены:
[
1369 = 2b^2 + 40b + 400
]
Теперь перенесем всё на одну сторону:
[
2b^2 + 40b + 400 - 1369 = 0
]
[
2b^2 + 40b - 969 = 0
]
Разделим всё на 2 для упрощения:
[
b^2 + 20b - 484.5 = 0
]
Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения:
[
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}
]
где ( A = 1 ), ( B = 20 ), ( C = -484.5 ).
Сначала найдем дискриминант:
[
D = B^2 - 4AC = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-484.5) = 400 + 1938 = 2338
]
Теперь найдем корни:
[
b = \frac{-20 \pm \sqrt{2338}}{2}
]
Вычислим ( \sqrt{2338} ):
[
\sqrt{2338} \approx 48.34
]
Теперь подставим в формулу для ( b ):
[
b = \frac{-20 \pm 48.34}{2}
]
Вычислим оба корня:
- ( b_1 = \frac{28.34}{2} \approx 14.17 )
- ( b_2 = \frac{-68.34}{2} ) (нецелый и отрицательный, не подходим)
Мы получаем ( b \approx 14.17 , \text{см} ). Теперь находим ( a ):
[
a = b + 20 \approx 14.17 + 20 = 34.17 , \text{см}
]
Теперь у нас есть катеты ( a ) и ( b ):
- ( a \approx 34.17 , \text{см} )
- ( b \approx 14.17 , \text{см} )
Теперь можем найти площадь ( S ) треугольника по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 34.17 \cdot 14.17 \approx \frac{1}{2} \cdot 484.36 \approx 242.18 , \text{см}^2
]
Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет approximately ( 242.18 , \text{см}^2 ).
