Для решения задачи начнем с того, что нам нужно понять свойства внутренних и внешних углов многоугольника.
Шаг 1: Определение углов
Обозначим внутренний угол многоугольника как ( I ) и внешний угол как ( E ). По условию задачи, внутренний угол в 5 раз больше внешнего, что можно записать в виде уравнения:
[
I = 5E
]
Шаг 2: Связь между внутренним и внешним углом
Для любого многоугольника внутренний и внешний углы связаны следующим образом:
[
I + E = 180^\circ
]
Шаг 3: Подстановка
Теперь мы можем подставить первое уравнение во второе:
[
5E + E = 180^\circ
]
ОбъединимTerms:
[
6E = 180^\circ
]
Шаг 4: Найдем внешний угол
Теперь найдем внешний угол ( E ):
[
E = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ
]
А теперь найдем внутренний угол ( I ):
[
I = 5E = 5 \times 30^\circ = 150^\circ
]
Шаг 5: Определение количества сторон
Теперь мы можем найти количество сторон ( n ) многоугольника. Внешний угол многоугольника также определяется формулой:
[
E = \frac{360^\circ}{n}
]
Подставим значение ( E ):
[
30^\circ = \frac{360^\circ}{n}
]
Шаг 6: Решим уравнение на ( n )
Преобразуем это уравнение для нахождения ( n ):
[
n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12
]
Шаг 7: Определение длины стороны
Теперь мы знаем, что многоугольник является правильным двенадцатигранником (12 сторон). Периметр правильного многоугольника рассчитывается по формуле:
[
P = n \times a
]
где ( P ) — периметр, ( n ) — количество сторон, ( a ) — длина стороны. В нашем случае:
[
48, \text{см} = 12 \times a
]
Решим это уравнение на ( a ):
[
a = \frac{48, \text{см}}{12} = 4, \text{см}
]
Ответ
Таким образом, длина стороны правильного двенадцатигранника равна ( 4, \text{см} ).
