Внутренний угол правильного многоугольника в 5 раз больше внешнего. Найдите сторону многоугольника, если его периметр равен 48 см.

Для решения задачи начнем с того, что нам нужно понять свойства внутренних и внешних углов многоугольника.

Шаг 1: Определение углов

Обозначим внутренний угол многоугольника как \( I \) и внешний угол как \( E \). По условию задачи, внутренний угол в 5 раз больше внешнего, что можно записать в виде уравнения:

\[ I = 5E \]

Шаг 2: Связь между внутренним и внешним углом

Для любого многоугольника внутренний и внешний углы связаны следующим образом:

\[ I + E = 180^\circ \]

Шаг 3: Подстановка

Теперь мы можем подставить первое уравнение во второе:

\[ 5E + E = 180^\circ \]

ОбъединимTerms:

\[ 6E = 180^\circ \]

Шаг 4: Найдем внешний угол

Теперь найдем внешний угол \( E \):

\[ E = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ \]

А теперь найдем внутренний угол \( I \):

\[ I = 5E = 5 \times 30^\circ = 150^\circ \]

Шаг 5: Определение количества сторон

Теперь мы можем найти количество сторон \( n \) многоугольника. Внешний угол многоугольника также определяется формулой:

\[ E = \frac{360^\circ}{n} \]

Подставим значение \( E \):

\[ 30^\circ = \frac{360^\circ}{n} \]

Шаг 6: Решим уравнение на \( n \)

Преобразуем это уравнение для нахождения \( n \):

\[ n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12 \]

Шаг 7: Определение длины стороны

Теперь мы знаем, что многоугольник является правильным двенадцатигранником (12 сторон). Периметр правильного многоугольника рассчитывается по формуле:

\[ P = n \times a \]

где \( P \) — периметр, \( n \) — количество сторон, \( a \) — длина стороны. В нашем случае:

\[ 48\, \text{см} = 12 \times a \]

Решим это уравнение на \( a \):

\[ a = \frac{48\, \text{см}}{12} = 4\, \text{см} \]

Ответ

Таким образом, длина стороны правильного двенадцатигранника равна \( 4\, \text{см} \).