Давайте решим вашу задачу шаг за шагом.
Дано:
- Точки (A (6, 3)) и (B (8, 11)).
a) Найдите координаты середины отрезка AB.
Середина отрезка AB (точка M) находится по формуле:
[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
]
Где ( (x_1, y_1) ) — координаты точки A, а ( (x_2, y_2) ) — координаты точки B.
Подставляем значения:
- (x_1 = 6)
- (y_1 = 3)
- (x_2 = 8)
- (y_2 = 11)
Теперь вычислим координаты середины:
[
M\left(\frac{6 + 8}{2}, \frac{3 + 11}{2}\right) = M\left(\frac{14}{2}, \frac{14}{2}\right) = M(7, 7)
]
Ответ: Середина отрезка AB имеет координаты (M(7, 7)).
б) Найдите координаты вектора AB.
Вектор AB обозначается как ( \vec{AB} ) и его координаты можно найти по формуле:
[
\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)
]
Подставляя значения:
[
\vec{AB} = (8 - 6, 11 - 3) = (2, 8)
]
Ответ: Координаты вектора ( \vec{AB} ) равны ( (2, 8) ).
в) Найдите длину вектора AB.
Длина вектора (или расстояние между двумя точками) вычисляется по формуле:
[
|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
Подставляя ранее найденные значения:
[
|\vec{AB}| = \sqrt{(8 - 6)^2 + (11 - 3)^2} = \sqrt{(2)^2 + (8)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}
]
Упростим:
[
\sqrt{68} = \sqrt{4 \times 17} = 2\sqrt{17}
]
Ответ: Длина вектора ( \vec{AB} ) равна ( 2\sqrt{17} ).
Итог:
- Координаты середины отрезка AB: ( M(7, 7) )
- Координаты вектора AB: ( (2, 8) )
- Длина вектора AB: ( 2\sqrt{17} )
