Для нахождения скалярного произведения двух векторов воспользуемся формулой:
[
(a \mathbf{n} + b \mathbf{k}) \cdot (c \mathbf{k} + d \mathbf{n}) = a \cdot c (\mathbf{n} \cdot \mathbf{k}) + a \cdot d (\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}) + b \cdot c (\mathbf{k} \cdot \mathbf{k}) + b \cdot d (\mathbf{k} \cdot \mathbf{n})
]
В нашем случае:
- (a = 3)
- (b = 2)
- (c = 6)
- (d = -1)
Также известно:
- (|\mathbf{n}| = 4) и (|\mathbf{k}| = \sqrt{3})
- Угол между (\mathbf{n}) и (\mathbf{k}), (\theta = 30^{\circ})
Скалярное произведение выражается как:
[
\mathbf{n} \cdot \mathbf{k} = |\mathbf{n}| \cdot |\mathbf{k}| \cdot \cos \theta
]
Подставим данные значения:
[
\mathbf{n} \cdot \mathbf{k} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^{\circ} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6
]
Скалярное произведение для одинаковых векторов:
[
\mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{n}|^2 = 16
]
[
\mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = |\mathbf{k}|^2 = 3
]
Теперь найдем скалярное произведение:
[
(3\mathbf{n} + 2\mathbf{k}) \cdot (6\mathbf{k} - \mathbf{n}) = 3 \cdot 6 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{k}) + 3 \cdot (-1) (\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}) + 2 \cdot 6 (\mathbf{k} \cdot \mathbf{k}) + 2 \cdot (-1) (\mathbf{k} \cdot \mathbf{n})
]
Подставим числовые значения:
[
= 18 \cdot 6 + 3 \cdot (-16) + 12 \cdot 3 + 2 \cdot (-6)
]
Раскроем скобки и посчитаем всё:
[
= 108 - 48 + 36 - 12
]
[
= 108 - 48 + 36 - 12 = 84
]
Итак, скалярное произведение векторов равно 84.
