Найди скалярное призведение векторов 3n+ 2 К и 6k - n, если |n| = 4, | k|= корень из 3 n k = 30°.

Для нахождения скалярного произведения двух векторов воспользуемся формулой:

\[ (a \mathbf{n} + b \mathbf{k}) \cdot (c \mathbf{k} + d \mathbf{n}) = a \cdot c (\mathbf{n} \cdot \mathbf{k}) + a \cdot d (\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}) + b \cdot c (\mathbf{k} \cdot \mathbf{k}) + b \cdot d (\mathbf{k} \cdot \mathbf{n}) \]

В нашем случае:

• \(a = 3\)
• \(b = 2\)
• \(c = 6\)
• \(d = -1\)

Также известно:

• \(|\mathbf{n}| = 4\) и \(|\mathbf{k}| = \sqrt{3}\)
• Угол между \(\mathbf{n}\) и \(\mathbf{k}\), \(\theta = 30^{\circ}\)

Скалярное произведение выражается как:

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{k} = |\mathbf{n}| \cdot |\mathbf{k}| \cdot \cos \theta \]

Подставим данные значения:

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{k} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^{\circ} = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6 \]

Скалярное произведение для одинаковых векторов:

\[ \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{n}|^2 = 16 \]

\[ \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = |\mathbf{k}|^2 = 3 \]

Теперь найдем скалярное произведение:

\[ (3\mathbf{n} + 2\mathbf{k}) \cdot (6\mathbf{k} - \mathbf{n}) = 3 \cdot 6 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{k}) + 3 \cdot (-1) (\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}) + 2 \cdot 6 (\mathbf{k} \cdot \mathbf{k}) + 2 \cdot (-1) (\mathbf{k} \cdot \mathbf{n}) \]

Подставим числовые значения:

\[ = 18 \cdot 6 + 3 \cdot (-16) + 12 \cdot 3 + 2 \cdot (-6) \]

Раскроем скобки и посчитаем всё:

\[ = 108 - 48 + 36 - 12 \]

\[ = 108 - 48 + 36 - 12 = 84 \]

Итак, скалярное произведение векторов равно 84.