используя периодичность тригонометрических функций, найдите значение выражений: 1)sin 390° 2)cos 420° 3)tg 540° 4)ctg 450° 5)tg 7π/3 6)sin 11π/6 7)cos 9π/4 8)ctg 10π/3.

Чтобы найти значения тригонометрических функций, используя периодичность тригонометрических функций, нужно помнить следующие ключевые факты:

1. Синус и косинус имеют период 360° или 2π радиан.
2. Тангенс и котангенс имеют период 180° или π радиан.

Это значит, что если мы превышаем эти значения, нам следует "уменьшить" угол до его эквивалента в пределах основного круга (например, от 0° до 360° для синуса и косинуса, и от 0° до 180° для тангенса и котангенса).

Теперь давайте разберем каждое выражение шаг за шагом.

1) sin(390°)

390° превышает 360°, поэтому мы можем вычесть 360°: \[ 390° - 360° = 30° \] Теперь находим значение: \[ \sin(30°) = \frac{1}{2} \]

2) cos(420°)

420° также превышает 360°, уменьшите: \[ 420° - 360° = 60° \] Теперь вычисляем: \[ \cos(60°) = \frac{1}{2} \]

3) tg(540°)

540° превышает 360°, вычтем 360°: \[ 540° - 360° = 180° \] Находим значение: \[ \tan(180°) = 0 \]

4) ctg(450°)

450° превышает 360°, уменьшите: \[ 450° - 360° = 90° \] Находим значение: \[ \cot(90°) = 0 \] (котангенс не определён в этой точке, но в контексте значений часто рассматривается как 0)

5) tg(7π/3)

Сначала переведем π в градусы. π ≈ 180°, тогда: \[ 7\pi/3 \text{ радиан} = 7 \times 60° = 420° \] Снизим угол: \[ 420° - 360° = 60° \] Теперь вычисляем: \[ \tan(60°) = \sqrt{3} \]

6) sin(11π/6)

Сначала переведем 11π/6 в градусы: \[ 11\pi/6 \text{ радиан} = 11 \times 30° = 330° \] Теперь находим значение: \[ \sin(330°) = -\frac{1}{2} \]

7) cos(9π/4)

Прежде всего, 9π/4 превышает 2π (или 8π/4), поэтому уменьшаем: \[ 9\pi/4 - 2\pi = 9\pi/4 - 8\pi/4 = \pi/4 \] Теперь вычисляем: \[ \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

8) ctg(10π/3)

Сначала 10π/3 превышает 2π. Уменьшим: \[ 10\pi/3 - 6\pi/3 = 4\pi/3 \] Находим значение: \[ \cot(4\pi/3) = -\sqrt{3} \] (так как 4π/3 находится в III квадранте, где котангенс будет отрицательным)

Итог:

1. sin(390°) = \(\frac{1}{2}\)
2. cos(420°) = \(\frac{1}{2}\)
3. tg(540°) = 0
4. ctg(450°) = не определён (Chose 0 for context)
5. tg(7π/3) = \(\sqrt{3}\)
6. sin(11π/6) = \(-\frac{1}{2}\)
7. cos(9π/4) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
8. ctg(10π/3) = \(-\sqrt{3}\)

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другой темой, не стесняйтесь спрашивать!