На стороне BC треугольника ABC отметили точку P так, что BP : PC = 5 : 6. Через точку P провели прямую, которая параллельна стороне AC треугольника и пересекает сторону AB в точке N. Найдите сторону AC, если PN = 15 см.

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства подобия треугольников. 1. **Понимание условия задачи**: Мы имеем треугольник ABC, в котором на стороне BC отмечена точка P, так что отношение отрезков BP и PC равно 5 : 6. Это означает, что если длина отрезка BP равна 5x, то длина отрезка PC равна 6x. Таким образом, длина всей стороны BC будет равна \(BP + PC = 5x + 6x = 11x\). 2. **Изображение и параллельные линии**: Через точку P проведена прямая, параллельная стороне AC. Эта прямая пересекает AB в точке N. Поскольку линия PN параллельна стороне AC, треугольники ABN и ACP будут подобны по признаку "параллельные прямые". 3. **Соотношения в подобных треугольниках**: В подобных треугольниках (в нашем случае треугольники ABN и ACP) отношение соответствующих сторон равно отношению отрезков, на которые точка P делит сторону BC. Мы можем записать это отношение: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{AN}{AP} \] Но также мы можем использовать отношение отрезков BP и PC для нахождения длины AC: \[ \frac{AN}{AP} = \frac{BP}{PC} = \frac{5}{6} \] 4. **Задаем переменные**: Пусть длина отрезка AC равна \(k\). Тогда, поскольку PN = 15 см, мы можем использовать подобие треугольников для нахождения стороны AC: Обозначим: - \(AN = 5y\) (часть отрезка AB до точки N), - \(AP = 6y\) (часть отрезка AP). 5. **Напишем уравнение**: Так как PN параллельно AC, мы имеем следующее соотношение: \[ \frac{PN}{AC} = \frac{AN}{AP} = \frac{5}{6} \] Подставляем \(PN = 15\) см и \(AC = k\): \[ \frac{15}{k} = \frac{5}{6} \] 6. **Решаем уравнение**: Умножим обе стороны на \(k\) и \(6\) для избавления от дробей: \[ 15 \cdot 6 = 5 \cdot k \] \[ 90 = 5k \] Разделим обе стороны на 5: \[ k = \frac{90}{5} = 18 \text{ см} \] 7. **Ответ**: Длина стороны \(AC\) равна 18 см. Таким образом, найденный ответ — \(AC = 18 \text{ см}\).