На стороне BC треугольника ABC отметили точку P так, что BP : PC = 5 : 6. Через точку P провели прямую, которая параллельна стороне AC треугольника и пересекает сторону AB в точке…

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства подобия треугольников.

1. Понимание условия задачи: Мы имеем треугольник ABC, в котором на стороне BC отмечена точка P, так что отношение отрезков BP и PC равно 5 : 6. Это означает, что если длина отрезка BP равна 5x, то длина отрезка PC равна 6x. Таким образом, длина всей стороны BC будет равна \(BP + PC = 5x + 6x = 11x\).

2. Изображение и параллельные линии: Через точку P проведена прямая, параллельная стороне AC. Эта прямая пересекает AB в точке N. Поскольку линия PN параллельна стороне AC, треугольники ABN и ACP будут подобны по признаку "параллельные прямые".

3. Соотношения в подобных треугольниках: В подобных треугольниках (в нашем случае треугольники ABN и ACP) отношение соответствующих сторон равно отношению отрезков, на которые точка P делит сторону BC. Мы можем записать это отношение:

   \[ \frac{AB}{AC} = \frac{AN}{AP} \]

   Но также мы можем использовать отношение отрезков BP и PC для нахождения длины AC:

   \[ \frac{AN}{AP} = \frac{BP}{PC} = \frac{5}{6} \]

4. Задаем переменные: Пусть длина отрезка AC равна \(k\). Тогда, поскольку PN = 15 см, мы можем использовать подобие треугольников для нахождения стороны AC:

   Обозначим:

   • \(AN = 5y\) (часть отрезка AB до точки N),
   • \(AP = 6y\) (часть отрезка AP).

5. Напишем уравнение: Так как PN параллельно AC, мы имеем следующее соотношение:

   \[ \frac{PN}{AC} = \frac{AN}{AP} = \frac{5}{6} \]

   Подставляем \(PN = 15\) см и \(AC = k\):

   \[ \frac{15}{k} = \frac{5}{6} \]

6. Решаем уравнение: Умножим обе стороны на \(k\) и \(6\) для избавления от дробей:

   \[ 15 \cdot 6 = 5 \cdot k \]

   \[ 90 = 5k \]

   Разделим обе стороны на 5:

   \[ k = \frac{90}{5} = 18 \text{ см} \]

7. Ответ: Длина стороны \(AC\) равна 18 см.

Таким образом, найденный ответ — \(AC = 18 \text{ см}\).