в равностороннем треугольнике MNK со стороной 10 корней из 3 провели медиану NQ. Чему равно скалярное произведение векторов KM и KQ?
Чтобы найти скалярное произведение векторов \( \vec{KM} \) и \( \vec{KQ} \) в равностороннем треугольнике \( MNK \) со стороной \( a = 10\sqrt{3} \), начнем с расположения точек на координатной плоскости.
Расположим треугольник: Пусть:
- Точка \( K \) расположена в начале координат: \( K(0, 0) \).
- Точка \( M \) будет на координате \( (10\sqrt{3}, 0) \).
- Для расположения точки \( N \) воспользуемся формулами для координат равностороннего треугольника. Высота \( h \) равностороннего треугольника вычисляется как \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \):
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10\sqrt{3} = 15 \]
То есть точка \( N \) будет на координате \( (5\sqrt{3}, 15) \) (средняя точка между \( M \) и \( N \)).
Найдем координаты точки \( Q \): Точка \( Q \) - это середина стороны \( MN \). Поэтому: \[ N\left( \frac{10\sqrt{3}}{2}, \frac{15}{2} \right) = \left( 5\sqrt{3}, \frac{15}{2} \right) \]
Векторы \( \vec{KM} \) и \( \vec{KQ} \): \[ \vec{KM} = M - K = (10\sqrt{3}, 0) - (0, 0) = (10\sqrt{3}, 0) \] \[ \vec{KQ} = Q - K = \left( 5\sqrt{3}, \frac{15}{2} \right) - (0, 0) = \left( 5\sqrt{3}, \frac{15}{2} \right) \]
Скалярное произведение векторов: Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} = (a_1, a_2) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2) \) определяется как: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \] Подставим наши векторы: \[ \vec{KM} \cdot \vec{KQ} = (10\sqrt{3}) \cdot (5\sqrt{3}) + 0 \cdot \frac{15}{2} \] \[ = 10\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = 50 \cdot 3 = 150 \]
Таким образом, скалярное произведение векторов \( \vec{KM} \) и \( \vec{KQ} \) равно \( \boxed{150} \).
