Найдите сторону равностороннего треугольника если его высота равна 4 см

Для того чтобы найти сторону равностороннего треугольника, зная его высоту, воспользуемся следующим свойством:

В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой, деля треугольник на два прямоугольных треугольника. Пусть \( a \) — сторона равностороннего треугольника, а \( h \) — его высота.

Используем теорему Пифагора для одного из образованных прямоугольных треугольников. В этом треугольнике \( h \) — высота, соответственно, один из катетов, а половина стороны равностороннего треугольника будет другим катетом, равная \( \frac{a}{2} \). Гипотенуза равна \( a \).

Запишем уравнение по теореме Пифагора:

\[ a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 \]

Подставляем значение высоты \( h = 4 \):

\[ a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 4^2 \]

\[ a^2 = \frac{a^2}{4} + 16 \]

Домножим все на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[ 4a^2 = a^2 + 64 \]

Отсюда:

\[ 4a^2 - a^2 = 64 \]

\[ 3a^2 = 64 \]

Разделим все уравнение на 3:

\[ a^2 = \frac{64}{3} \]

Теперь извлечем квадратный корень:

\[ a = \sqrt{\frac{64}{3}} \]

\[ a = \frac{\sqrt{64}}{\sqrt{3}} \]

\[ a = \frac{8}{\sqrt{3}} \]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\) для рационализации знаменателя:

\[ a = \frac{8\sqrt{3}}{3} \]

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\) см.