составить уравнение окружности, проходящей через точки А(1;5) В(-4;0) D(4;-4)

Чтобы составить уравнение окружности, проходящей через три заданные точки \( A(1, 5) \), \( B(-4, 0) \) и \( D(4, -4) \), необходимо понять, что уравнение окружности имеет вид:

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

где \( (h, k) \) — координаты центра окружности, а \( r \) — радиус.

Шаг 1: Составление системы уравнений

Мы можем подставить координаты каждой точки в уравнение окружности. Для этого используем:

1. Точка \( A(1, 5) \): \[ (1 - h)^2 + (5 - k)^2 = r^2 \tag{1} \]

2. Точка \( B(-4, 0) \): \[ (-4 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2 \tag{2} \]

3. Точка \( D(4, -4) \): \[ (4 - h)^2 + (-4 - k)^2 = r^2 \tag{3} \]

Шаг 2: Упрощение уравнений

Теперь у нас есть три уравнения, которые равны \( r^2 \). Таким образом, можно приравнять уравнения (1) и (2):

\[ (1 - h)^2 + (5 - k)^2 = (-4 - h)^2 + (0 - k)^2 \]

Раскроем скобки и упростим:

1. Левую сторону: \[ (1 - h)^2 = 1 - 2h + h^2 \] \[ (5 - k)^2 = 25 - 10k + k^2 \] Итог: \[ 1 - 2h + h^2 + 25 - 10k + k^2 = h^2 - 2h + k^2 - 10k + 26 \]

2. Правую сторону: \[ (-4 - h)^2 = 16 + 8h + h^2 \] \[ (0 - k)^2 = k^2 \] Итог: \[ 16 + 8h + h^2 + k^2 \]

Приравнивая две стороны, получаем: \[ h^2 - 2h + k^2 - 10k + 26 = 16 + 8h + h^2 + k^2 \]

Упрощаем уравнение: \[ -2h - 10k + 26 = 16 + 8h \] \[ -10k + 26 - 16 = 10h \] \[ -10k + 10 = 10h \] \[ h + k = 1 \tag{4} \]

Шаг 3: Приравнивание второго и третьего уравнений

Теперь приравняем (2) и (3): \[ (-4 - h)^2 + (0 - k)^2 = (4 - h)^2 + (-4 - k)^2 \]

Раскрываем и упрощаем:

1. Левая сторона: \[ 16 + 8h + h^2 + k^2 \]

2. Правая сторона: \[ (4 - h)^2 = 16 - 8h + h^2 \] \[ (-4 - k)^2 = 16 + 8k + k^2 \] Итог: \[ 16 - 8h + h^2 + 16 + 8k + k^2 = h^2 - 8h + k^2 + 32 \]

Приравниваем: \[ 16 + 8h + h^2 + k^2 = h^2 - 8h + k^2 + 32 \]

После упрощения: \[ 8h + 16 = -8h + 32 \] \[ 16h = 16 \] \[ h = 1 \tag{5} \]

Шаг 4: Подставим \( h \) в уравнение (4)

Теперь подставим найденное значение \( h = 1 \) в уравнение (4): \[ h + k = 1 \implies 1 + k = 1 \implies k = 0 \tag{6} \]

Шаг 5: Найдем радиус \( r \)

Теперь мы знаем, что центр окружности \( (h, k) = (1, 0) \). Подставляем это значение в одно из предыдущих уравнений, чтобы найти радиус. Например, подставим в уравнение (1): \[ (1 - 1)^2 + (5 - 0)^2 = r^2 \] \[ 0 + 25 = r^2 \implies r^2 = 25 \implies r = 5 \]

Шаг 6: Записываем окончательное уравнение окружности

Теперь можем записать окончательное уравнение окружности: \[ (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = 25 \] или, проще, \[ (x - 1)^2 + y^2 = 25 \]

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точки \( A(1, 5) \), \( B(-4, 0) \) и \( D(4, -4) \), равно:

\[ (x - 1)^2 + y^2 = 25 \]