В квадратном уравнении 3 15 0 2 x  bx   найдите b, если известно, что корни уравнения – целые числа.

Рассмотрим данное квадратное уравнение: \[ 2x^2 + bx + 15 = 0. \] Мы знаем, что его корни целые числа. Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) корни можно найти с помощью дискриминанта \( D \), который вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac. \] В нашем случае \( a = 2 \), \( b = b \), \( c = 15 \). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта: \[ D = b^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = b^2 - 120. \] Корни уравнения будут целыми, если дискриминант \( D \) является квадратом целого числа. То есть, мы можем записать: \[ D = k^2, \] где \( k \) — целое число. Следовательно, у нас есть: \[ b^2 - 120 = k^2. \] Это уравнение можно переписать следующим образом: \[ b^2 - k^2 = 120. \] Эта форма уравнения позволяет нам выразить его через разность квадратов: \[ (b - k)(b + k) = 120. \] Теперь нам нужно найти все пары целых чисел \( (b - k) \) и \( (b + k) \), произведение которых равно 120. Для этого найдем все делители числа 120: Делители 120: \( (1, 120), (2, 60), (3, 40), (4, 30), (5, 24), (6, 20), (8, 15), (10, 12) \). Теперь рассмотрим каждую пару делителей и выразим из них переменные \( b \) и \( k \): 1. \( b - k = 1 \) и \( b + k = 120 \): - Сложив, получаем: \( 2b = 121 \) → \( b = 60.5 \) (неподходящее значение). 2. \( b - k = 2 \) и \( b + k = 60 \): - Сложив: \( 2b = 62 \) → \( b = 31 \). - Вычитая: \( 2k = 58 \) → \( k = 29 \). 3. \( b - k = 3 \) и \( b + k = 40 \): - \( 2b = 43 \) → \( b = 21.5 \) (неподходящее значение). 4. \( b - k = 4 \) и \( b + k = 30 \): - \( 2b = 34 \) → \( b = 17 \). - \( 2k = 26 \) → \( k = 13 \). 5. \( b - k = 5 \) и \( b + k = 24 \): - \( 2b = 29 \) → \( b = 14.5 \) (неподходящее значение). 6. \( b - k = 6 \) и \( b + k = 20 \): - \( 2b = 26 \) → \( b = 13 \). - \( 2k = 14 \) → \( k = 7 \). 7. \( b - k = 8 \) и \( b + k = 15 \): - \( 2b = 23 \) → \( b = 11.5 \) (неподходящее значение). 8. \( b - k = 10 \) и \( b + k = 12 \): - \( 2b = 22 \) → \( b = 11 \). - \( 2k = 2 \) → \( k = 1 \). Теперь соберем все подходящие целые значения b, которые мы получили: - \( b = 31 \) - \( b = 17 \) - \( b = 13 \) - \( b = 11 \) Определим значения b, для которых будут целые корни квадратного уравнения, подставив вычисленные значения обратно и найдя дискриминант. Проверим для каждого: 1. \( b = 31 \): - \( D = 31^2 - 120 = 961 - 120 = 841 \) → \( \sqrt{841} = 29 \) (ок, целые корни). 2. \( b = 17 \): - \( D = 17^2 - 120 = 289 - 120 = 169 \) → \( \sqrt{169} = 13 \) (ок, целые корни). 3. \( b = 13 \): - \( D = 13^2 - 120 = 169 - 120 = 49 \) → \( \sqrt{49} = 7 \) (ок, целые корни). 4. \( b = 11 \): - \( D = 11^2 - 120 = 121 - 120 = 1 \) → \( \sqrt{1} = 1 \) (ок, целые корни). Таким образом, подходящие значения для \( b \) таковы: - \( b = 31, 17, 13, 11 \). **Ответ:** \( b = 31, 17, 13, 11 \).