В квадратном уравнении 3 15 0 2 x  bx   найдите b, если известно, что корни уравнения – целые числа.

Рассмотрим данное квадратное уравнение:

\[ 2x^2 + bx + 15 = 0. \]

Мы знаем, что его корни целые числа. Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) корни можно найти с помощью дискриминанта \( D \), который вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac. \]

В нашем случае \( a = 2 \), \( b = b \), \( c = 15 \). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = b^2 - 120. \]

Корни уравнения будут целыми, если дискриминант \( D \) является квадратом целого числа. То есть, мы можем записать:

\[ D = k^2, \]

где \( k \) — целое число. Следовательно, у нас есть:

\[ b^2 - 120 = k^2. \]

Это уравнение можно переписать следующим образом:

\[ b^2 - k^2 = 120. \]

Эта форма уравнения позволяет нам выразить его через разность квадратов:

\[ (b - k)(b + k) = 120. \]

Теперь нам нужно найти все пары целых чисел \( (b - k) \) и \( (b + k) \), произведение которых равно 120. Для этого найдем все делители числа 120:

Делители 120: \( (1, 120), (2, 60), (3, 40), (4, 30), (5, 24), (6, 20), (8, 15), (10, 12) \).

Теперь рассмотрим каждую пару делителей и выразим из них переменные \( b \) и \( k \):

1. \( b - k = 1 \) и \( b + k = 120 \):

   • Сложив, получаем: \( 2b = 121 \) → \( b = 60.5 \) (неподходящее значение).

2. \( b - k = 2 \) и \( b + k = 60 \):

   • Сложив: \( 2b = 62 \) → \( b = 31 \).
   • Вычитая: \( 2k = 58 \) → \( k = 29 \).

3. \( b - k = 3 \) и \( b + k = 40 \):

   • \( 2b = 43 \) → \( b = 21.5 \) (неподходящее значение).

4. \( b - k = 4 \) и \( b + k = 30 \):

   • \( 2b = 34 \) → \( b = 17 \).
   • \( 2k = 26 \) → \( k = 13 \).

5. \( b - k = 5 \) и \( b + k = 24 \):

   • \( 2b = 29 \) → \( b = 14.5 \) (неподходящее значение).

6. \( b - k = 6 \) и \( b + k = 20 \):

   • \( 2b = 26 \) → \( b = 13 \).
   • \( 2k = 14 \) → \( k = 7 \).

7. \( b - k = 8 \) и \( b + k = 15 \):

   • \( 2b = 23 \) → \( b = 11.5 \) (неподходящее значение).

8. \( b - k = 10 \) и \( b + k = 12 \):

   • \( 2b = 22 \) → \( b = 11 \).
   • \( 2k = 2 \) → \( k = 1 \).

Теперь соберем все подходящие целые значения b, которые мы получили:

• \( b = 31 \)
• \( b = 17 \)
• \( b = 13 \)
• \( b = 11 \)

Определим значения b, для которых будут целые корни квадратного уравнения, подставив вычисленные значения обратно и найдя дискриминант. Проверим для каждого:

1. \( b = 31 \):

   • \( D = 31^2 - 120 = 961 - 120 = 841 \) → \( \sqrt{841} = 29 \) (ок, целые корни).

2. \( b = 17 \):

   • \( D = 17^2 - 120 = 289 - 120 = 169 \) → \( \sqrt{169} = 13 \) (ок, целые корни).

3. \( b = 13 \):

   • \( D = 13^2 - 120 = 169 - 120 = 49 \) → \( \sqrt{49} = 7 \) (ок, целые корни).

4. \( b = 11 \):

   • \( D = 11^2 - 120 = 121 - 120 = 1 \) → \( \sqrt{1} = 1 \) (ок, целые корни).

Таким образом, подходящие значения для \( b \) таковы:

• \( b = 31, 17, 13, 11 \).

Ответ: \( b = 31, 17, 13, 11 \).