В квадратном уравнении 3 15 0 2 x  bx   найдите b, если известно, что корни уравнения – целые числа.

Чтобы решить задачу о нахождении значения \( b \) в квадратном уравнении \( 2x^2 + bx + 15 = 0 \) при условии, что корни этого уравнения — целые числа, воспользуемся свойствами квадратных уравнений.

Шаг 1: Формулировка уравнения

Итак, мы имеем уравнение вида: \[ 2x^2 + bx + 15 = 0 \] где \( 2 \) — коэффициент при \( x^2 \), \( b \) — коэффициент при \( x \), и \( 15 \) — свободный член.

Шаг 2: Корни квадратного уравнения

Если корни уравнения обозначим как \( x_1 \) и \( x_2 \), то по Vieta's formulas (формулы Виета) мы знаем, что:

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{2} \)
• Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{15}{2} \)

Так как \( x_1 \) и \( x_2 \) — целые числа, и произведение \( x_1 \cdot x_2 = \frac{15}{2} \) не может быть целым числом, значит необходимо выразить сумму и произведение через целые числа.

Шаг 3: Приведение к целым числам

Чтобы избежать дробей, умножим всё на 2: \[ 4x^2 + 2bx + 30 = 0 \]

Теперь суммы и произведения станут:

• Сумма: \( x_1 + x_2 = -b \)
• Произведение: \( x_1 \cdot x_2 = 15 \)

Шаг 4: Подбор целых корней

Теперь давайте найдем возможные пары целых корней, произведение которых равно 15:

• \( (1, 15) \)
• \( (3, 5) \)
• \( (-1, -15) \)
• \( (-3, -5) \)
• \( (15, 1) \)
• \( (5, 3) \)

Для каждой из этих пар найдем сумму \( x_1 + x_2 \) и, соответственно, значение \( b \).

1. Пара \( (1, 15) \) \[ x_1 + x_2 = 1 + 15 = 16 \quad \Rightarrow \quad -b = 16 \quad \Rightarrow \quad b = -16 \]

2. Пара \( (3, 5) \) \[ x_1 + x_2 = 3 + 5 = 8 \quad \Rightarrow \quad -b = 8 \quad \Rightarrow \quad b = -8 \]

3. Пара \( (-1, -15) \) \[ x_1 + x_2 = -1 - 15 = -16 \quad \Rightarrow \quad -b = -16 \quad \Rightarrow \quad b = 16 \]

4. Пара \( (-3, -5) \) \[ x_1 + x_2 = -3 - 5 = -8 \quad \Rightarrow \quad -b = -8 \quad \Rightarrow \quad b = 8 \]

Шаг 5: Возможные значения b

Таким образом, возможные значения \( b \):

• \( -16 \)
• \( -8 \)
• \( 16 \)
• \( 8 \)

Заключение

Корни квадратного уравнения могут быть целыми числами для \( b = -16, -8, 16, 8 \). Обрати внимание, что для получения уравнения с целыми корнями, нужно учитывать и знак коэффициента \( b \).