Две стороны треугольника равны 3 см и 5 см, а угол между нами равен 120 градусов. Найдите периметр треугольника
Чтобы найти периметр треугольника с двумя известными сторонами и углом между ними, мы можем использовать теорему косинусов, а затем сложить все стороны.
Шаги решения:
Теорема косинусов: Теорема косинусов для треугольника с сторонами \(a\), \(b\), и \(c\), где \(C\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\), выглядит так:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
В этой задаче, \(a = 3 \, \text{см}\), \(b = 5 \, \text{см}\), \(C = 120^\circ\). Чтобы найти сторону \(c\), подставим значения в формулу:
\[ c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ) \]
Вычисление косинуса: \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\).
Применение значений:
\[ c^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]
\[ c^2 = 9 + 25 + 15 = 49 \]
Нахождение \(c\):
\[ c = \sqrt{49} = 7 \, \text{см} \]
Периметр треугольника: Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Значит:
\[ P = a + b + c = 3 + 5 + 7 = 15 \, \text{см} \]
Ответ:
Периметр треугольника равен 15 см.
