6. В классе 15 мальчиков и 20 девочек. Из них выбирают случайным образом 4 человека. Найдите вероятность того, что мальчиков и девочек будет поровну.

Чтобы найти вероятность того, что в случайно выбранной выборке из 4 человек будет поровну мальчиков и девочек, сначала выясним общее количество способов выбрать 4 человека из класса, а затем количество способов выбрать их так, чтобы количество мальчиков и девочек было равно.

Шаг 1: Определение общего количества способов выбрать 4 человека

В классе всего 15 мальчиков и 20 девочек. Следовательно, общее количество человек в классе:

\[ 15 + 20 = 35 \]

Количество способов выбрать 4 человека из 35 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) — общее количество предметов (в нашем случае человек), а \( k \) — количество предметов, которые мы выбираем.

Поэтому:

\[ C(35, 4) = \frac{35!}{4!(35-4)!} = \frac{35!}{4! \cdot 31!} = \frac{35 \times 34 \times 33 \times 32}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 52360 \]

Шаг 2: Определение количества способов выбрать 2 мальчика и 2 девочки

Теперь мы хотим выбрать 2 мальчика и 2 девочки. Сначала найдем количество способов выбрать 2 мальчика из 15:

\[ C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 \]

Затем найдем количество способов выбрать 2 девочки из 20:

\[ C(20, 2) = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190 \]

Теперь произведем эти два значения, чтобы найти общее количество способов выбрать 2 мальчика и 2 девочки:

\[ C(15, 2) \times C(20, 2) = 105 \times 190 = 19950 \]

Шаг 3: Нахождение вероятности

Теперь мы можем найти вероятность того, что в случайно выбранных 4 человеках будет поровну мальчиков и девочек:

\[ P = \frac{\text{Количество способов выбрать 2 мальчика и 2 девочки}}{\text{Общее количество способов выбрать 4 человека}} = \frac{19950}{52360} \]

Шаг 4: Сокращение дроби

Теперь упростим дробь:

\[ P = \frac{19950}{52360} \approx 0,380 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что в выборе из 4 человек будет поровну мальчиков и девочек, составляет примерно 0,38 или 38%.