Чтобы найти вероятность того, что в случайно выбранной выборке из 4 человек будет поровну мальчиков и девочек, сначала выясним общее количество способов выбрать 4 человека из класса, а затем количество способов выбрать их так, чтобы количество мальчиков и девочек было равно.
Шаг 1: Определение общего количества способов выбрать 4 человека
В классе всего 15 мальчиков и 20 девочек. Следовательно, общее количество человек в классе:
[
15 + 20 = 35
]
Количество способов выбрать 4 человека из 35 можно вычислить с помощью формулы сочетаний:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где ( n ) — общее количество предметов (в нашем случае человек), а ( k ) — количество предметов, которые мы выбираем.
Поэтому:
[
C(35, 4) = \frac{35!}{4!(35-4)!} = \frac{35!}{4! \cdot 31!} = \frac{35 \times 34 \times 33 \times 32}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 52360
]
Шаг 2: Определение количества способов выбрать 2 мальчика и 2 девочки
Теперь мы хотим выбрать 2 мальчика и 2 девочки. Сначала найдем количество способов выбрать 2 мальчика из 15:
[
C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105
]
Затем найдем количество способов выбрать 2 девочки из 20:
[
C(20, 2) = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190
]
Теперь произведем эти два значения, чтобы найти общее количество способов выбрать 2 мальчика и 2 девочки:
[
C(15, 2) \times C(20, 2) = 105 \times 190 = 19950
]
Шаг 3: Нахождение вероятности
Теперь мы можем найти вероятность того, что в случайно выбранных 4 человеках будет поровну мальчиков и девочек:
[
P = \frac{\text{Количество способов выбрать 2 мальчика и 2 девочки}}{\text{Общее количество способов выбрать 4 человека}} = \frac{19950}{52360}
]
Шаг 4: Сокращение дроби
Теперь упростим дробь:
[
P = \frac{19950}{52360} \approx 0,380
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что в выборе из 4 человек будет поровну мальчиков и девочек, составляет примерно 0,38 или 38%.
