При каких значениях с и в многочлены Р(х) и К(х) равны: P(x) = 2x ^ 3 + 5x ^ 2 - x - c + 3d и K(x) = 2x ^ 3 - (c + 7d) * x ^ 2 - x - 15
Чтобы определить, при каких значениях \( c \) и \( d \) многочлены \( P(x) \) и \( K(x) \) равны, мы сравним их коэффициенты. Многочлены имеют равные значения для всех \( x \), если все соответствующие их коэффициенты равны.
Запишем многочлены:
\[ P(x) = 2x^3 + 5x^2 - x - c + 3d \] \[ K(x) = 2x^3 - (c + 7d)x^2 - x - 15 \]
Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях \( x \).
Коэффициенты при \( x^3 \): \[ 2 = 2 \] (совпадают, это условие верно для любых \( c \) и \( d \))
Коэффициенты при \( x^2 \): \[ 5 = -(c + 7d) \] Это уравнение мы можем записать как: \[ c + 7d = -5 \quad (1) \]
Коэффициенты при \( x^1 \): \[ -1 = -1 \] (совпадают, это условие также верно для любых \( c \) и \( d \))
Сравнение свободных членов: \[ -c + 3d = -15 \] Это уравнение можно записать как: \[ c - 3d = 15 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
- \( c + 7d = -5 \)
- \( c - 3d = 15 \)
Решим эту систему уравнений.
Из первого уравнения выразим \( c \): \[ c = -5 - 7d \quad (3) \]
Подставим (3) во второе уравнение: \[ (-5 - 7d) - 3d = 15 \] \[ -5 - 10d = 15 \] \[ -10d = 20 \] \[ d = -2 \]
Подставим значение \( d \) обратно в (3): \[ c = -5 - 7(-2) \] \[ c = -5 + 14 \] \[ c = 9 \]
Ответ
Таким образом, многочлены \( P(x) \) и \( K(x) \) равны при значениях \( c = 9 \) и \( d = -2 \).
