Чтобы выяснить, при каком значении (x) выражения (x + 2), (5x) и (15x) образуют последовательные члены геометрической прогрессии, необходимо воспользоваться условием для геометрической прогрессии: отношение среднего члена (второго) к первому равно отношению третьего члена ко второму.
То есть, нам нужно решить уравнение:
[
\frac{5x}{x + 2} = \frac{15x}{5x}
]
Упростим правую часть:
[
\frac{15x}{5x} = 3
]
Таким образом, у нас получается уравнение:
[
\frac{5x}{x + 2} = 3
]
Теперь умножим обе стороны на (x + 2):
[
5x = 3(x + 2)
]
Раскроем скобки:
[
5x = 3x + 6
]
Переносим (3x) на левую сторону:
[
5x - 3x = 6
]
Соберем (x):
[
2x = 6
]
Теперь делим обе стороны на 2:
[
x = 3
]
Таким образом, (x = 3) является значением, при котором (x + 2), (5x) и (15x) образуют последовательные члены геометрической прогрессии.
Проверим:
Если (x = 3), то (x + 2 = 5), (5x = 15), (15x = 45).
Должны проверить, образуют ли числа 5, 15 и 45 геометрическую прогрессию:
[
\frac{15}{5} = 3 \quad \text{и} \quad \frac{45}{15} = 3
]
Условия выполняются, значит, ответ верен.
Ответ: (x = 3).
