При каком значении х значения выражений х + 2, 5х и 15х являются последовательными членами геоме-трической прогрессии?

Чтобы выяснить, при каком значении \(x\) выражения \(x + 2\), \(5x\) и \(15x\) образуют последовательные члены геометрической прогрессии, необходимо воспользоваться условием для геометрической прогрессии: отношение среднего члена (второго) к первому равно отношению третьего члена ко второму.

То есть, нам нужно решить уравнение:

\[ \frac{5x}{x + 2} = \frac{15x}{5x} \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{15x}{5x} = 3 \]

Таким образом, у нас получается уравнение:

\[ \frac{5x}{x + 2} = 3 \]

Теперь умножим обе стороны на \(x + 2\):

\[ 5x = 3(x + 2) \]

Раскроем скобки:

\[ 5x = 3x + 6 \]

Переносим \(3x\) на левую сторону:

\[ 5x - 3x = 6 \]

Соберем \(x\):

\[ 2x = 6 \]

Теперь делим обе стороны на 2:

\[ x = 3 \]

Таким образом, \(x = 3\) является значением, при котором \(x + 2\), \(5x\) и \(15x\) образуют последовательные члены геометрической прогрессии.

Проверим:

• Если \(x = 3\), то \(x + 2 = 5\), \(5x = 15\), \(15x = 45\).

• Должны проверить, образуют ли числа 5, 15 и 45 геометрическую прогрессию:

  \[ \frac{15}{5} = 3 \quad \text{и} \quad \frac{45}{15} = 3 \]

Условия выполняются, значит, ответ верен.

Ответ: \(x = 3\).