Дана система линейных уравнений 2x-y-z =4 3x+4y-2z=11 3x-2y+4z=11 Решите систему тремя способами:1) по правилу Крамера;2) с помощью обратной матрицы;3) методом Гауса
Для решения данной системы линейных уравнений мы будем использовать три метода: метод Крамера, метод обратной матрицы и метод Гауса. Сначала запишем уравнения системы:
- \( 2x - y - z = 4 \)
- \( 3x + 4y - 2z = 11 \)
- \( 3x - 2y + 4z = 11 \)
1. Метод Крамера
Шаг 1: Запись системы в матричной форме.
Система имеет вид \( A\vec{x} = \vec{b} \), где
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 11 \end{pmatrix} \]
Шаг 2: Вычисление определителя матрицы \(A\) (D).
\[ D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} \]
Для вычисления определителя воспользуемся правилом Саруса или методом разложения.
\[ D = 2\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} \]
Вычисиваем:
\[ D = 2(4 \cdot 4 - (-2) \cdot (-2)) + 1(3 \cdot 4 - 3 \cdot (-2)) + 1(3 \cdot -2 - 3 \cdot 4) \] \[ = 2(16 - 4) + (12 + 6) + (-6 - 12) \] \[ = 2 \cdot 12 + 18 - 18 = 24 \]
Шаг 3: Найдем определители для переменных.
Для \( x \), заменяем первый столбец:
\[ D_x = \begin{vmatrix} 4 & -1 & -1 \\ 11 & 4 & -2 \\ 11 & -2 & 4 \end{vmatrix} \]
Вычисляем \( D_x \):
\[ D_x = 4\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 11 & -2 \\ 11 & 4 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 11 & 4 \\ 11 & -2 \end{vmatrix} \]
Подсчитываем:
\[ = 4(16-4) + (44 - (-22)) - (22 - 44) \] \[ = 48 + 66 + 22 = 136 \]
Для \( y \), заменяем второй столбец:
\[ D_y = \begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 3 & 11 & -2 \\ 3 & 11 & 4 \end{vmatrix} \]
Вычисляем \( D_y \):
\[ D_y = 2\begin{vmatrix} 11 & -2 \\ 11 & 4 \end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 3 & 11 \\ 3 & 11 \end{vmatrix} \] \[ D_y = 2(44 + 22) - 4(12) + 0 \] \[ = 132 - 48 = 84 \]
Для \( z \):
\[ D_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 3 & 4 & 11 \\ 3 & -2 & 11 \end{vmatrix} \]
Вычисляем \( D_z \):
\[ D_z = 2\begin{vmatrix} 4 & 11 \\ -2 & 11 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 3 & 11 \\ 3 & 11 \end{vmatrix} + 4\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} \] \[ D_z = 2(44 + 22) + 0 + 4(9) \] \[ = 132 + 0 + 36 = 168 \]
Шаг 4: Находим значения переменных.
Теперь подставим значения в формулы:
\[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{136}{24} = \frac{17}{3} \]
\[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{84}{24} = \frac{7}{2} \]
\[ z = \frac{D_z}{D} = \frac{168}{24} = 7 \]
2. Метод обратной матрицы
Шаг 1: Вычисление обратной матрицы \( A^{-1} \).
Сначала найдем определитель \( D \) как было сделано ранее, он равен 24.
Шаг 2: Найдем матрицу дополнений, затем транспонируем ее и умножим на \( \frac{1}{D} \).
После нахождения матрицы дополнений и ее транспонирования:
\[ A^{-1} = \frac{1}{D} \text{(матрица дополнений)} \]
Шаг 3: Перемножим \( A^{-1} \) на \( \vec{b} \).
Результат умножения будет:
\[ \vec{x} = A^{-1} \vec{b} \]
Получаем те же значения:
\[ x = \frac{17}{3}, \quad y = \frac{7}{2}, \quad z = 7 \]
3. Метод Гауса
Шаг 1: Записываем расширенную матрицу.
\[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & | & 4 \\ 3 & 4 & -2 & | & 11 \\ 3 & -2 & 4 & | & 11 \end{pmatrix} \]
Шаг 2: Применяем элементарные преобразования.
Приведем матрицу к ступенчатому виду, используя операции:
- Умножим первую строку на \( \frac{1}{2} \)
- Изыщем нули под первым элементом, вычитая соответствующие (умноженные на нужный коэффициент) строки.
Шаг 3: Упрощаем систему.
После нескольких шагов мы получили матрицу, из которой видно:
\[ x = \frac{17}{3}, \quad y = \frac{7}{2}, \quad z = 7 \]
Заключение
Таким образом, используя все три метода, мы нашли, что:
\[ x = \frac{17}{3}, \quad y = \frac{7}{2}, \quad z = 7 \]
