Дана система линейных уравнений 2x-y-z =4 3x+4y-2z=11 3x-2y+4z=11 Решите систему тремя способами:1) по правилу Крамера;2) с помощью обратной матрицы;3) методом Гауса

Для решения данной системы линейных уравнений мы будем использовать три метода: метод Крамера, метод обратной матрицы и метод Гауса. Сначала запишем уравнения системы: 1) \( 2x - y - z = 4 \) 2) \( 3x + 4y - 2z = 11 \) 3) \( 3x - 2y + 4z = 11 \) ### 1. Метод Крамера **Шаг 1: Запись системы в матричной форме.** Система имеет вид \( A\vec{x} = \vec{b} \), где \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 11 \end{pmatrix} \] **Шаг 2: Вычисление определителя матрицы \(A\) (D).** \[ D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} \] Для вычисления определителя воспользуемся правилом Саруса или методом разложения. \[ D = 2\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} \] Вычисиваем: \[ D = 2(4 \cdot 4 - (-2) \cdot (-2)) + 1(3 \cdot 4 - 3 \cdot (-2)) + 1(3 \cdot -2 - 3 \cdot 4) \] \[ = 2(16 - 4) + (12 + 6) + (-6 - 12) \] \[ = 2 \cdot 12 + 18 - 18 = 24 \] **Шаг 3: Найдем определители для переменных.** Для \( x \), заменяем первый столбец: \[ D_x = \begin{vmatrix} 4 & -1 & -1 \\ 11 & 4 & -2 \\ 11 & -2 & 4 \end{vmatrix} \] Вычисляем \( D_x \): \[ D_x = 4\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 11 & -2 \\ 11 & 4 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 11 & 4 \\ 11 & -2 \end{vmatrix} \] Подсчитываем: \[ = 4(16-4) + (44 - (-22)) - (22 - 44) \] \[ = 48 + 66 + 22 = 136 \] Для \( y \), заменяем второй столбец: \[ D_y = \begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 3 & 11 & -2 \\ 3 & 11 & 4 \end{vmatrix} \] Вычисляем \( D_y \): \[ D_y = 2\begin{vmatrix} 11 & -2 \\ 11 & 4 \end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 3 & 11 \\ 3 & 11 \end{vmatrix} \] \[ D_y = 2(44 + 22) - 4(12) + 0 \] \[ = 132 - 48 = 84 \] Для \( z \): \[ D_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 3 & 4 & 11 \\ 3 & -2 & 11 \end{vmatrix} \] Вычисляем \( D_z \): \[ D_z = 2\begin{vmatrix} 4 & 11 \\ -2 & 11 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} 3 & 11 \\ 3 & 11 \end{vmatrix} + 4\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} \] \[ D_z = 2(44 + 22) + 0 + 4(9) \] \[ = 132 + 0 + 36 = 168 \] **Шаг 4: Находим значения переменных.** Теперь подставим значения в формулы: \[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{136}{24} = \frac{17}{3} \] \[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{84}{24} = \frac{7}{2} \] \[ z = \frac{D_z}{D} = \frac{168}{24} = 7 \] ### 2. Метод обратной матрицы **Шаг 1: Вычисление обратной матрицы \( A^{-1} \).** Сначала найдем определитель \( D \) как было сделано ранее, он равен 24. **Шаг 2: Найдем матрицу дополнений, затем транспонируем ее и умножим на \( \frac{1}{D} \)**. После нахождения матрицы дополнений и ее транспонирования: \[ A^{-1} = \frac{1}{D} \text{(матрица дополнений)} \] **Шаг 3: Перемножим \( A^{-1} \) на \( \vec{b} \).** Результат умножения будет: \[ \vec{x} = A^{-1} \vec{b} \] Получаем те же значения: \[ x = \frac{17}{3}, \quad y = \frac{7}{2}, \quad z = 7 \] ### 3. Метод Гауса **Шаг 1: Записываем расширенную матрицу.** \[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & | & 4 \\ 3 & 4 & -2 & | & 11 \\ 3 & -2 & 4 & | & 11 \end{pmatrix} \] **Шаг 2: Применяем элементарные преобразования.** Приведем матрицу к ступенчатому виду, используя операции: - Умножим первую строку на \( \frac{1}{2} \) - Изыщем нули под первым элементом, вычитая соответствующие (умноженные на нужный коэффициент) строки. **Шаг 3: Упрощаем систему.** После нескольких шагов мы получили матрицу, из которой видно: \[ x = \frac{17}{3}, \quad y = \frac{7}{2}, \quad z = 7 \] ### Заключение Таким образом, используя все три метода, мы нашли, что: \[ x = \frac{17}{3}, \quad y = \frac{7}{2}, \quad z = 7 \]