Рассмотрим разность дробей ( \frac{1}{t} - 10 ) и ( \frac{5}{t} + 10 ). Она равна их произведению:
[
\left( \frac{1}{t} - 10 \right) - \left( \frac{5}{t} + 10 \right) = \left( \frac{1}{t} - 10 \right) \cdot \left( \frac{5}{t} + 10 \right)
]
Упрощаем левую часть:
[
\frac{1}{t} - 10 - \frac{5}{t} - 10 = \frac{1 - 5}{t} - 20 = -\frac{4}{t} - 20
]
Теперь упрощаем правую часть:
[
\left( \frac{1}{t} - 10 \right) \cdot \left( \frac{5}{t} + 10 \right) = \frac{1 \cdot 5}{t^2} + \frac{1 \cdot 10}{t} - 10 \cdot \frac{5}{t} - 100 = \frac{5}{t^2} + \frac{10}{t} - \frac{50}{t} - 100 = \frac{5}{t^2} - \frac{40}{t} - 100
]
Теперь у нас есть равенство:
[
-\frac{4}{t} - 20 = \frac{5}{t^2} - \frac{40}{t} - 100
]
Умножим обе стороны на ( t^2 ) (при ( t \neq 0 )):
[
-4t - 20t^2 = 5 - 40t - 100t^2
]
Соберем все члены в одной стороне:
[
100t^2 - 40t - 4t - 5 - 20t^2 = 0
]
Сложим подобные:
[
80t^2 - 44t - 5 = 0
]
Теперь применим формулу корней квадратного уравнения:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 80 ), ( b = -44 ), ( c = -5 ):
[
b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 80 \cdot (-5) = 1936 + 1600 = 3536
]
Теперь находим корни:
[
t = \frac{44 \pm \sqrt{3536}}{2 \cdot 80} = \frac{44 \pm 59.466}{160}
]
Находим два значения:
- (\frac{44 + 59.466}{160} = \frac{103.466}{160} \approx 0.648)
- (\frac{44 - 59.466}{160} = \frac{-15.466}{160} \approx -0.097)
Ответ: ( t \approx 0.648 ) или ( t \approx -0.097 ).
