Определи значение переменной t, при котором разность дробей 1/t-10 и 5/t+10 равна их произведению. Ответ: t =

Рассмотрим разность дробей \( \frac{1}{t} - 10 \) и \( \frac{5}{t} + 10 \). Она равна их произведению:

\[ \left( \frac{1}{t} - 10 \right) - \left( \frac{5}{t} + 10 \right) = \left( \frac{1}{t} - 10 \right) \cdot \left( \frac{5}{t} + 10 \right) \]

Упрощаем левую часть:

\[ \frac{1}{t} - 10 - \frac{5}{t} - 10 = \frac{1 - 5}{t} - 20 = -\frac{4}{t} - 20 \]

Теперь упрощаем правую часть:

\[ \left( \frac{1}{t} - 10 \right) \cdot \left( \frac{5}{t} + 10 \right) = \frac{1 \cdot 5}{t^2} + \frac{1 \cdot 10}{t} - 10 \cdot \frac{5}{t} - 100 = \frac{5}{t^2} + \frac{10}{t} - \frac{50}{t} - 100 = \frac{5}{t^2} - \frac{40}{t} - 100 \]

Теперь у нас есть равенство:

\[ -\frac{4}{t} - 20 = \frac{5}{t^2} - \frac{40}{t} - 100 \]

Умножим обе стороны на \( t^2 \) (при \( t \neq 0 \)):

\[ -4t - 20t^2 = 5 - 40t - 100t^2 \]

Соберем все члены в одной стороне:

\[ 100t^2 - 40t - 4t - 5 - 20t^2 = 0 \]

Сложим подобные:

\[ 80t^2 - 44t - 5 = 0 \]

Теперь применим формулу корней квадратного уравнения:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 80 \), \( b = -44 \), \( c = -5 \):

\[ b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 80 \cdot (-5) = 1936 + 1600 = 3536 \]

Теперь находим корни:

\[ t = \frac{44 \pm \sqrt{3536}}{2 \cdot 80} = \frac{44 \pm 59.466}{160} \]

Находим два значения:

1. \(\frac{44 + 59.466}{160} = \frac{103.466}{160} \approx 0.648\)
2. \(\frac{44 - 59.466}{160} = \frac{-15.466}{160} \approx -0.097\)

Ответ: \( t \approx 0.648 \) или \( t \approx -0.097 \).