Плошадь прямоугольного треугольника равна 180 см² найти катеты этого треуоольника,есои один больше другого на 31 см

Чтобы решить задачу, давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника через переменные. Пусть один катет равен \( x \) см, а другой катет будет равен \( x + 31 \) см (так как он больше на 31 см). 1. **Запишем формулу для площади прямоугольного треугольника:** Площадь (S) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — это катеты треугольника. 2. **Подставим наши переменные:** Так как площадь данного треугольника составляет 180 см², мы можем записать: \[ 180 = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 31) \] 3. **Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:** \[ 360 = x \cdot (x + 31) \] 4. **Раскроем скобки:** \[ 360 = x^2 + 31x \] 5. **Переносим все в левую часть уравнения:** \[ x^2 + 31x - 360 = 0 \] 6. **Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:** Формула корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) имеет вид: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 31 \), \( c = -360 \). 7. **Сначала найдём дискриминант:** \[ D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 961 + 1440 = 2401 \] 8. **Найдём корни уравнения:** \[ x = \frac{-31 \pm \sqrt{2401}}{2 \cdot 1} = \frac{-31 \pm 49}{2} \] Теперь найдем два возможных значения для \( x \): - Первое значение: \[ x_1 = \frac{-31 + 49}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] - Второе значение: \[ x_2 = \frac{-31 - 49}{2} = \frac{-80}{2} = -40 \] 9. **Оставляем только положительное значение:** Так как длина катета не может быть отрицательной, принимаем \( x = 9 \). 10. **Находим второй катет:** Второй катет будет: \[ x + 31 = 9 + 31 = 40 \, \text{см} \] ### Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 40 см.