Чтобы решить задачу о плотности сплавов золота и серебра, рассмотрим два случая: когда мы используем равные объёмы этих металлов и когда используем равные массы.
Дано:
- Плотность золота, ( \rho_{Au} ) = 19,3 г/см³
- Плотность серебра, ( \rho_{Ag} ) = 10,5 г/см³
1. Случай с равными объёмами
Предположим, что мы сплавляем ( V ) см³ золота и ( V ) см³ серебра. Тогда массы этих металлов можно найти по формуле:
[
m_{Au} = \rho_{Au} \cdot V = 19,3 \cdot V
]
[
m_{Ag} = \rho_{Ag} \cdot V = 10,5 \cdot V
]
Теперь найдем общий объем сплава:
[
V_{total} = V + V = 2V
]
Общая масса сплава:
[
m_{total} = m_{Au} + m_{Ag} = (19,3V + 10,5V) = 29,8V
]
Плотность сплава в этом случае:
[
\rho_{sp} = \frac{m_{total}}{V_{total}} = \frac{29,8V}{2V} = \frac{29,8}{2} = 14,9 \text{ г/см}³
]
2. Случай с равными массами
Теперь рассмотрим случай, когда мы сплавляем равные массы ( m ) золота и ( m ) серебра. Для золота это будет:
[
V_{Au} = \frac{m}{\rho_{Au}} = \frac{m}{19,3}
]
Для серебра:
[
V_{Ag} = \frac{m}{\rho_{Ag}} = \frac{m}{10,5}
]
Общий объем сплава:
[
V_{total} = V_{Au} + V_{Ag} = \frac{m}{19,3} + \frac{m}{10,5}
]
Для удобства сложим дроби:
[
\frac{m}{19,3} + \frac{m}{10,5} = m \left( \frac{1}{19,3} + \frac{1}{10,5} \right)
]
Общая масса сплава (в этом случае):
[
m_{total} = 2m
]
Теперь найдем плотность сплава:
[
\rho_{sp} = \frac{m_{total}}{V_{total}} = \frac{2m}{m \left( \frac{1}{19,3} + \frac{1}{10,5} \right)} = \frac{2}{\left( \frac{1}{19,3} + \frac{1}{10,5} \right)}
]
Расчёты
Теперь вычислим значение ( \left( \frac{1}{19,3} + \frac{1}{10,5} \right) ):
[
\frac{1}{19,3} \approx 0,0518 \quad \text{и} \quad \frac{1}{10,5} \approx 0,0952
]
Сложим:
[
0,0518 + 0,0952 = 0,147
]
Теперь найдем плотность:
[
\rho_{sp} = \frac{2}{0,147} \approx 13,6 \text{ г/см}³
]
Сравнение плотностей
Теперь у нас есть две плотности:
- Плотность сплава из равных объёмов: ( 14,9 \text{ г/см}³ )
- Плотность сплава из равных масс: ( 13,6 \text{ г/см}³ )
Теперь найдем, во сколько раз отличаются эти плотности:
[
\frac{14,9}{13,6} \approx 1,095
]
Ответ
Плотности сплавов отличаются примерно в 1,095 раз, что означает, что сплав из равных объёмов имеет большую плотность.
