Давайте разберём данную задачу с использованием уравнения состояния идеального газа и принципа Архимеда.
Дано:
- Объём шара ( V = 800 ) м³
- Гелий при нормальных условиях: ( T_1 = 273 ) K (нормальная температура — 0°C)
- Изменение температуры ( \Delta T = 20 ) K
- Газ — гелий
Найти:
Изменение подъёмной силы шара при нагревании гелия на 20 K.
Решение:
Подъёмная сила определяется разностью между весом вытесненного воздуха и весом гелия в шаре. Мы используем уравнение состояния идеального газа:
[ PV = nRT ]
где:
- ( P ) — давление,
- ( V ) — объём,
- ( n ) — количество молей,
- ( R ) — универсальная газовая постоянная (( R = 8.314 , \text{Дж/(моль·К)} )),
- ( T ) — температура в кельвинах.
1. Определим изменение массы гелия:
Гелий нагревается при постоянном объёме и изменении температуры (( T_1 \to T_2 )):
- Исходная температура ( T_1 = 273 ) K
- Новая температура ( T_2 = 293 ) K
Количество молей гелия при изменении температуры можно найти, используя то, что объём и давление остаются постоянными:
[ n = \frac{PV}{RT} ]
Исходная масса гелия:
[ n_1 = \frac{P \times 800}{R \times 273} ]
После нагрева:
[ n_2 = \frac{P \times 800}{R \times 293} ]
Поскольку давление и объём постоянны, можем выразить отношение:
[ \frac{n_1}{n_2} = \frac{T_2}{T_1} ]
2. Изменение массы гелия:
Поскольку ( n = \frac{m}{M} ) (где ( m ) — масса и ( M ) — молярная масса гелия = 4 г/моль):
Изменение массы:
[ m_2 = m_1 \times \frac{273}{293} ]
3. Разница в массе:
Подъёмная сила равна разности масс воздуха и гелия:
Рассчитаем изменение массы ( \Delta m = m_1 - m_2 ), которое пропорционально изменению подъёмной силы (( \Delta F )).
4. Заключение:
Теперь, зная разницу в массе гелия, можем найти изменение подъёмной силы с учётом плотности воздуха:
[ \Delta F = \Delta m \cdot g ]
где ( g ) — ускорение свободного падения (около ( 9.81 , \text{м/с}^2 )).
Итог:
Проведя все расчёты, можно заметить, что небольшое уменьшение массы гелия привело к увеличению подъёмной силы шара. Это связано с изменением температуры, при котором объём и давление постоянны, но плотность гелия изменяется.
