Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции ( f(x) = x + \frac{1}{x} ) на заданном отрезке ([-2, -0.5]), необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найдем производную функции
Для нахождения экстремумов функции, сначала найдем её производную:
[
f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}
]
Шаг 2: Найдем критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
[
1 - \frac{1}{x^2} = 0
]
Это уравнение можно переписать как:
[
\frac{1}{x^2} = 1
]
Следовательно:
[
x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1
]
Поскольку нас интересует отрезок ([-2, -0.5]), критическая точка (x = 1) не попадает в этот отрезок. Второй корень (x = -1) находится в заданном отрезке.
Шаг 3: Проверим значения на концах отрезка и в критической точке
Теперь нам нужно оценить значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке:
- ( f(-2) = -2 + \frac{1}{-2} = -2 - 0.5 = -2.5 )
- ( f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2 )
- ( f(-0.5) = -0.5 + \frac{1}{-0.5} = -0.5 - 2 = -2.5 )
Шаг 4: Сравним значения
Теперь сравним все найденные значения функции:
- ( f(-2) = -2.5 )
- ( f(-1) = -2 )
- ( f(-0.5) = -2.5 )
Шаг 5: Определим наибольшее и наименьшее значение
Наименьшее значение на отрезке ([-2, -0.5]) — это ( -2.5 ) (достигается при ( x = -2 ) и ( x = -0.5 )).
Наибольшее значение — это ( -2 ) (достигается при ( x = -1 )).
Ответ
- Наименьшее значение функции: ( -2.5 )
- Наибольшее значение функции: ( -2 )
