найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x+1/x на отрезке [-2;-0,5]
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) на заданном отрезке \([-2, -0.5]\), необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найдем производную функции
Для нахождения экстремумов функции, сначала найдем её производную:
\[ f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \]
Это уравнение можно переписать как:
\[ \frac{1}{x^2} = 1 \]
Следовательно:
\[ x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Поскольку нас интересует отрезок \([-2, -0.5]\), критическая точка \(x = 1\) не попадает в этот отрезок. Второй корень \(x = -1\) находится в заданном отрезке.
Шаг 3: Проверим значения на концах отрезка и в критической точке
Теперь нам нужно оценить значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке:
- \( f(-2) = -2 + \frac{1}{-2} = -2 - 0.5 = -2.5 \)
- \( f(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 - 1 = -2 \)
- \( f(-0.5) = -0.5 + \frac{1}{-0.5} = -0.5 - 2 = -2.5 \)
Шаг 4: Сравним значения
Теперь сравним все найденные значения функции:
- \( f(-2) = -2.5 \)
- \( f(-1) = -2 \)
- \( f(-0.5) = -2.5 \)
Шаг 5: Определим наибольшее и наименьшее значение
Наименьшее значение на отрезке \([-2, -0.5]\) — это \( -2.5 \) (достигается при \( x = -2 \) и \( x = -0.5 \)).
Наибольшее значение — это \( -2 \) (достигается при \( x = -1 \)).
Ответ
- Наименьшее значение функции: \( -2.5 \)
- Наибольшее значение функции: \( -2 \)
