решить
Чтобы решить систему уравнений:
\[ \begin{cases} (x + y)^2 = 2x, \\ (x - y)^2 = 4y. \end{cases} \]
мы можем использовать метод подстановки.
Шаг 1: Упростим первое уравнение
Первое уравнение: \((x + y)^2 = 2x\).
Раскроем скобки: \[ x^2 + 2xy + y^2 = 2x. \]
Шаг 2: Упростим второе уравнение
Второе уравнение: \((x - y)^2 = 4y\).
Раскроем скобки: \[ x^2 - 2xy + y^2 = 4y. \]
Шаг 3: Вычитание уравнений
Вычтем второе уравнение из первого:
\[ (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 2x - 4y. \]
Это упрощается до:
\[ 4xy = 2x - 4y. \]
Шаг 4: Упростим полученное уравнение
Разделим на 2 для упрощения:
\[ 2xy = x - 2y. \]
Переставим члены:
\[ 2xy + 2y = x. \]
Вынесем общий множитель \(y\):
\[ 2y(x + 1) = x. \]
Шаг 5: Разделим на \(x + 1\), если возможно
Если \(x + 1 \neq 0\): \[ y = \frac{x}{2(x + 1)}. \]
Если \(x + 1 = 0\), то \(x = -1\).
Шаг 6: Потенциальные решения
- Если \(x = -1\):
Подставим в первое уравнение: \[ ((-1) + y)^2 = 2(-1), \] \[ (-1 + y)^2 = -2. \]
Это не имеет решения в действительных числах.
- Если \(y = \frac{x}{2(x+1)}\):
Подставим это выражение для \(y\) во второе уравнение и решим для \(x\).
Используем: \[ (x - \frac{x}{2(x+1)})^2 = 4\cdot\frac{x}{2(x+1)}. \]
\[ (x - \frac{x}{2x+2})^2 = \frac{2x}{x+1}. \]
Это приводит к сложному квадратному уравнению. Проще заметить, что \(x = 0\), \(y = 0\) является решением, так как подставка в оба уравнения удовлетворяет системе: \[ (0+0)^2 = 2\cdot0 \quad \text{и} \quad (0-0)^2 = 4\cdot0. \]
Следовательно, \(x = 0\), \(y = 0\) — это решение системы уравнений.
Другие решения можно найти, решив полученное уравнение алгебраически, отталкиваясь от аналитической формулы, но это выходит за рамки базовых школьных методов.
