Найди область определения функции y=√25^x-5^x

Для нахождения области определения функции \( y = \sqrt{25^x - 5^x} \) нам нужно понять, при каких значениях \( x \) выражение под корнем неотрицательно, так как корень из отрицательного числа не определен. Давайте разберем это шаг за шагом: 1. **Перепишем \( 25^x \) через \( 5^x \)**: \( 25^x \) можно представить как \( (5^2)^x = (5^x)^2 \). Это поможет нам проще работать с уравнением. Таким образом, мы переписываем функцию: \[ y = \sqrt{(5^x)^2 - 5^x} \] 2. **Обозначим переменную**: Пусть \( t = 5^x \). Теперь мы имеем: \[ y = \sqrt{t^2 - t} \] 3. **Условие неотрицательности под корнем**: Чтобы корень имел смысл, требуется, чтобы: \[ t^2 - t \geq 0 \] Это неравенство можно решить, вынеся \( t \) за скобки: \[ t(t - 1) \geq 0 \] 4. **Найдем корни**: Корни данного неравенства — это \( t = 0 \) и \( t = 1 \). Теперь определим интервалы: - \( t < 0 \) — не может быть, так как \( t = 5^x \) всегда положительно. - \( 0 \leq t < 1 \) — подходит, так как при \( t = 0 \) выражение равно нулю, а с маленькими положительными \( t \) также будет неотрицательным. - \( t = 1 \) — тоже подходит, так как результат равен нулю. - \( t > 1 \) — не подходит. 5. **Решение по \( t \)**: Из условий \( 0 \leq t < 1 \) мы переводим это обратно в \( x \): \[ 0 < 5^x < 1 \] Это условие выполняется, когда: \[ x < 0 \] (поскольку \( 5^x \) убывает при уменьшении \( x \) и равен 1 в точке \( x = 0 \)). 6. **Запишем область определения функции**: Таким образом, область определения функции \( y = \sqrt{25^x - 5^x} \) будет: \[ x < 0 \] В итоге, область определения данной функции — это все значения \( x \), которые меньше нуля, то есть: \[ (-\infty, 0) \] Это и есть искомый ответ.