найди область определения функции y=√25^x-5^x
Для нахождения области определения функции \( y = \sqrt{25^x - 5^x} \) нам нужно понять, при каких значениях \( x \) выражение под корнем неотрицательно, так как корень из отрицательного числа не определен.
Давайте разберем это шаг за шагом:
Перепишем \( 25^x \) через \( 5^x \): \( 25^x \) можно представить как \( (5^2)^x = (5^x)^2 \). Это поможет нам проще работать с уравнением. Таким образом, мы переписываем функцию: \[ y = \sqrt{(5^x)^2 - 5^x} \]
Обозначим переменную: Пусть \( t = 5^x \). Теперь мы имеем: \[ y = \sqrt{t^2 - t} \]
Условие неотрицательности под корнем: Чтобы корень имел смысл, требуется, чтобы: \[ t^2 - t \geq 0 \]
Это неравенство можно решить, вынеся \( t \) за скобки: \[ t(t - 1) \geq 0 \]
Найдем корни: Корни данного неравенства — это \( t = 0 \) и \( t = 1 \). Теперь определим интервалы:
- \( t < 0 \) — не может быть, так как \( t = 5^x \) всегда положительно.
- \( 0 \leq t < 1 \) — подходит, так как при \( t = 0 \) выражение равно нулю, а с маленькими положительными \( t \) также будет неотрицательным.
- \( t = 1 \) — тоже подходит, так как результат равен нулю.
- \( t > 1 \) — не подходит.
Решение по \( t \): Из условий \( 0 \leq t < 1 \) мы переводим это обратно в \( x \): \[ 0 < 5^x < 1 \]
Это условие выполняется, когда: \[ x < 0 \]
(поскольку \( 5^x \) убывает при уменьшении \( x \) и равен 1 в точке \( x = 0 \)).
Запишем область определения функции: Таким образом, область определения функции \( y = \sqrt{25^x - 5^x} \) будет: \[ x < 0 \]
В итоге, область определения данной функции — это все значения \( x \), которые меньше нуля, то есть: \[ (-\infty, 0) \]
Это и есть искомый ответ.
