1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции: y = x/(x ^ 2 + 16); на отрезке [- 3; 7]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = \frac{x}{x^2 + 16} \) на отрезке \([-3; 7]\), будем следовать пошагово.
Шаг 1: Найти производную функции
Сначала найдем производную функции \( y \) для определения критических точек (где производная равна нулю или не существует).
Используем правило деления:
\[ y' = \frac{(x^2 + 16)(1) - x(2x)}{(x^2 + 16)^2} \]
Упрощаем числитель:
\[ y' = \frac{x^2 + 16 - 2x^2}{(x^2 + 16)^2} = \frac{16 - x^2}{(x^2 + 16)^2} \]
Шаг 2: Найти критические точки
Теперь найдем, когда \( y' = 0 \):
\[ 16 - x^2 = 0 \]
Решаем уравнение:
\[ x^2 = 16 \implies x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4 \]
Находим, что критические точки — это \( x = 4 \) и \( x = -4 \). Но из них только \( x = 4 \) лежит в заданном отрезке \([-3; 7]\).
Шаг 3: Проверить границы отрезка и критические точки
Теперь нам нужно оценить значение функции в начальных и конечных точках отрезка и в найденной критической точке:
\( x = -3 \): \[ y(-3) = \frac{-3}{(-3)^2 + 16} = \frac{-3}{9 + 16} = \frac{-3}{25} = -0.12 \]
\( x = 4 \): \[ y(4) = \frac{4}{4^2 + 16} = \frac{4}{16 + 16} = \frac{4}{32} = 0.125 \]
\( x = 7 \): \[ y(7) = \frac{7}{7^2 + 16} = \frac{7}{49 + 16} = \frac{7}{65} \approx 0.1077 \]
Шаг 4: Сравнить значения
Теперь у нас есть значения функции в ключевых точках отрезка:
- \( y(-3) = -0.12 \)
- \( y(4) = 0.125 \)
- \( y(7) \approx 0.1077 \)
Сравниваем эти значения:
- Наименьшее значение: \( y(-3) = -0.12 \)
- Наибольшее значение: \( y(4) = 0.125 \)
Ответ
На отрезке \([-3; 7]\):
- Наименьшее значение функции \( y = -0.12 \) в точке \( x = -3 \).
- Наибольшее значение функции \( y = 0.125 \) в точке \( x = 4 \).
