x^2-25<0
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 25 < 0 \), следуем по шагам.
Шаг 1: Преобразуем неравенство
Первое, что мы можем сделать, это переписать неравенство в более удобной форме:
\[ x^2 < 25 \]
Шаг 2: Найдем границы
Мы знаем, что \( 25 \) является квадратом числа \( 5 \), то есть:
\[ 25 = 5^2 \]
Теперь мы можем переписать неравенство как:
\[ x^2 < 5^2 \]
Шаг 3: Извлечем корень
Чтобы решить это неравенство, извлечем квадратные корни с учетом знаков:
\[ -5 < x < 5 \]
Это значит, что \( x \) может принимать значения от \( -5 \) до \( 5 \), не включая сами границы.
Шаг 4: Запишем ответ
Таким образом, в ответе мы можем записать:
\[ x \in (-5; 5) \]
Шаг 5: Проверка
Также полезно проверить, что полученные значения работают для нашего изначального неравенства. Попробуем взять несколько чисел:
- Если \( x = 0 \):
\[ 0^2 - 25 = -25 < 0 \] (верно)
- Если \( x = -6 \):
\[ (-6)^2 - 25 = 36 - 25 = 11 > 0 \] (неверно)
- Если \( x = 6 \):
\[ 6^2 - 25 = 36 - 25 = 11 > 0 \] (неверно)
Все проверки подтверждают, что неравенство выполняется для значения \( x \) в интервале \( (-5; 5) \).
Итог
Таким образом, решением неравенства \( x^2 - 25 < 0 \) является интервал:
\[ x \in (-5; 5) \]
