340/567+29/42+43/54+74/81-(53/60-37/84)-(3/14+12/35)
Давайте решим ваше выражение шаг за шагом. Мы имеем следующее:
\[ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - \left(\frac{53}{60} - \frac{37}{84}\right) - \left(\frac{3}{14} + \frac{12}{35}\right) \]
Начнем с разбивки на части.
Шаг 1: Решение первого сложения
Найдем общий знаменатель для первых четырех дробей.
- Знаменатели: 567, 42, 54, 81.
- Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел можно найти, разложив их на простые множители:
\[ 567 = 3^4 \times 7, \quad 42 = 2 \times 3 \times 7, \quad 54 = 2 \times 3^3, \quad 81 = 3^4 \]
Объединим их множители:
- 2 — от 42 и 54.
- 3 — максимальная степень — \(3^4\).
- 7 — от 42 и 567.
Таким образом, НОК будет равен:
\[ НОК = 2 \times 3^4 \times 7 = 2 \times 81 \times 7 = 1134. \]
Приведем каждую дробь к общему знаменателю:
\[ \frac{340}{567} = \frac{340 \times 2}{567 \times 2} = \frac{680}{1134} \]
\[ \frac{29}{42} = \frac{29 \times 27}{42 \times 27} = \frac{783}{1134} \]
\[ \frac{43}{54} = \frac{43 \times 21}{54 \times 21} = \frac{903}{1134} \]
\[ \frac{74}{81} = \frac{74 \times 14}{81 \times 14} = \frac{1036}{1134} \]
Сложим их:
\[ \frac{680 + 783 + 903 + 1036}{1134} = \frac{3402}{1134} \]
Шаг 2: Решение второго выражения
\(-\left(\frac{53}{60} - \frac{37}{84}\right)\)
Найдем общий знаменатель для \(\frac{53}{60}\) и \(\frac{37}{84}\).
- Знаменатели: 60 и 84.
- Разложим:
\[ 60 = 2^2 \times 3 \times 5, \quad 84 = 2^2 \times 3 \times 7. \]
НОК будет равен \(2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420\).
Приведем дроби:
\[ \frac{53}{60} = \frac{53 \times 7}{60 \times 7} = \frac{371}{420} \]
\[ \frac{37}{84} = \frac{37 \times 5}{84 \times 5} = \frac{185}{420} \]
Вычтем:
\[ \frac{371 - 185}{420} = \frac{186}{420} = \frac{31}{70}. \]
Шаг 3: Решение третьего выражения
\(-\left(\frac{3}{14} + \frac{12}{35}\right)\)
Найдем общий знаменатель для \(\frac{3}{14}\) и \(\frac{12}{35}\).
- НОК(14, 35) = 70.
Приведем дроби:
\[ \frac{3}{14} = \frac{3 \times 5}{14 \times 5} = \frac{15}{70} \]
\[ \frac{12}{35} = \frac{12 \times 2}{35 \times 2} = \frac{24}{70} \]
Сложим их:
\[ \frac{15 + 24}{70} = \frac{39}{70}. \]
Шаг 4: Объединение всего
Теперь у нас есть:
\[ \frac{3402}{1134} - \frac{31}{70} - \frac{39}{70} \]
Сначала объединим последние два выражения:
\[ -\left(\frac{31}{70} + \frac{39}{70}\right) = -\frac{70}{70} = -1. \]
Теперь:
\[ \frac{3402}{1134} - 1 = \frac{3402 - 1134}{1134} = \frac{2268}{1134} = 2. \]
Итог
Ответ:
\[ \frac{340}{567} + \frac{29}{42} + \frac{43}{54} + \frac{74}{81} - \left(\frac{53}{60} - \frac{37}{84}\right) - \left(\frac{3}{14} + \frac{12}{35}\right) = 2. \]
